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典型例题一
例1比较x3与3x的大小,其中x∈R.
3
2解:x33x
x23x3,
33x23x223,22323x,243≥0,4
∴x33x.
2
说明:说明:由例1可以看出实数比较大小的依据是:①ab0ab;②ab0ab;③ab0ab.
典型例题二
例2比较x1与xx的大小,其中x∈R
642642解:x1xx
x6x4x21,x4x21x21,x21x41,x21x21x21,x212x21,
∴当x±1时,x1xx;
642
当x≠±1时,x1xx
642
说明:说明:两个实数比较大小,通常用作差法来进行,其一般步骤是:第一步:作差;第二步:变形,常采用配方,因式分解等恒等变形手段;第三步:定号,贵州省是能确定是大于0,还是等于0,还是小于0.最后得结论.概括为“三步,结论”,这里的“变形”一步最为关键.
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典型例题三
例3x∈R,比较x1x
2
1x1与x(x2x1)的大小.221x22分析:分析:直接作差需要将x1x1与x(xx1)展开,过程复杂,22
2
式子冗长,可否考虑根据两个式子特点,予以变形,再作差.解:∵x1x
xx1x1(x2x1)22xx1x2x1x1,21212xxx1x1xx1221x1x2x1x2x1,2x122∴x1x1xxx122111x2x1xx10.222x122则有x∈R时,x1x1x(xx1)恒成立.22
说明:说明:有的确问题直接作差不容易判断其符号,这时可根据两式的特点考虑先变形,到比较易于判断符号时,再作差,予以比较,如此例就是先变形后,再作差.
典型例题四
例4设x∈R,比较
1与1x的大小.1x
1x21x,解:作差1x1x
1)当x0时,即∴
x20,1x
11x;1xx20,1x
2)当1x0,即x1时,∴
11x;1xx20,1x
3)当1x0但x≠0,即1x0或x0时,
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11x.1x
说明:说明r
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