，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC120°，
以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段
BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明
A
E
F
B
C
D
f12．（北京）如图，已知△ABC⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图
中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB＋AC＞AD＋AEA
B
C
13．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝180°AH⊥AH于H，HA的延长线交DE于
G求证：GD＝GE
D
G
E
A
B
HC
14．已知，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时，如图1，易证：AE＋CF＝EF；（不需证明）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明
A
A
A
B
EMB
EM
B
CFN
图1
DCF
D
N图2
FCN图3
D
EM
f第2讲角平分线的性质与判定
考点方法破译
1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形
经典考题赏析
【例１】如图，已知OD平分∠AOB，在OA、OB边上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD
求证：PM＝PN
【解法指导】由于PM⊥BD，PN⊥AD欲证PM＝PN只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需
∠3和∠4所在的△OBD与△OAD全等即可
证明：∵OD平分∠AOB∴∠1＝∠2
OBOA在△OBD与△OAD中，12
ODOD
∴△OBD≌△OAD
B
M
3
D
4
12
PN
O
A
∴∠3＝∠4
∵PM⊥BD，PN⊥AD
所以PM＝PN
【变式题组】
01．如图，CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN求证：点P在∠BAC的平分线上
M
C
P
A
BN
02．如图，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P是BD延长线上的一点，PM⊥AD，PN⊥CD求证：PM＝PN
AMP
DN
B
C
f【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，
且AE＝1AB＋AD，如果∠D＝120°，求∠B的度数2
【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE⊥AB，联想到可作CF⊥AD于F，得CE＝CF，AF＝AE，
又由AE＝1AB＋AD得DF＝EB，于是可证△CFD≌△CEB，则∠B＝∠CDF＝60°或者在
2
AE上截取AM＝AD从而构造全等三角形
D
解：过点C作CF⊥AD于点F∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，点C是AC上一点，
∴CE＝CFA
在
Rt△CFA
和r