．
fXY12
U
S11
1
2
V
1
22
t
1
22．
四、（本题
10
分）已知总体X
的概率密度函数为
f
x
1
e
x
0
x0其中未知参其它
数0X1X2X
为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无
偏估计量．
解：（1）v1EX
xf
xdx
10
x
xedx
，用v1
1
i1
Xi
X
代替，所
以
1
i1
Xi
X
．
（2）E
EX
1
i1
EXi
EX
，所以该估计量是无偏估计．
五、（本题10分）设总体X的概率密度函数为fx1x0x1，其中未
知参数1，X1X2X
是来自总体X的一个样本，试求参数的极大似然估计．
解：
L
1
i1
xi
0
0xi1其它
当0
xi
1时，l
L
l
1
i1
l
xi
，令
d
l
Ld
1
i1
l
xi
0，
得
1
．
l
xi
i1
六、（本题
10
分）设总体
X
的密度函数为
f
x
ex
x0未知参数0，
0x0
X1X2
X
为总体的一个样本，证明
X
是
1
的一个
UMVUE．
证明：由指数分布的总体满足正则条件可得
fI
E
22
l
fx
E
12
12
，
1的的无偏估计方差的CR下界为
12
1
2
2
I
12
1
2
．
另一方面
EX1，
VarX
1
2
，
即X得方差达到CR下界，故X是1的UMVUE．
七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0005公斤．在一批苹果中随机取9个
苹果称重得其样本标准差为S0007公斤试问：（1）在显著性水平005下可否认
为该批苹果重量标准差达到要求（2）如果调整显著性水平0025，结果会怎样？
参考数据
200
2
59
19023
2005
9
16919
200
2
58
17535
2005
8
15507
．
解：（1）H020005
2
1S2
2
2
8，则应有：
P
2
2005
8
0005
2005
8
15507
，
具体计算得：2
80007200052
156815507所以拒绝假设H0，即认为苹果重量标准差
指标未达到要求．
（2）新设
H020005
由
20025
17535
2
80007200052
156817535
则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．
八、（本题
10
分）已知两个总体X
与Y独立，X
112，Y
2
22
，
1
2
21
22
未知，
X1
X
2
X
1和Y1Y2
Y
2分别是来自X和Y的样本，求
12的置信度为1的置信区间
22
解：设
S
2X
SY2分别表示总体X，Y
的样本方差，由抽样分布定理可知
f
1
1
S
2X
12
2
11，
21SY2
22
2
21，
由F分布的定义可得
1
1S
2X
F
12
21SY2
r
