求数列通项公式
一、公式法
类型1a
1a
f
解法：把原递推公式转化为a
1a
f
，利用累加法逐差相加法求解。
例1已知数列a
满足a
12a
32
，a12，求数列a
的通项公式。
解：a
1

2a


32

两边除以
2
1
，得
a
12
1

a
2


32
，则
a
12
1

a
2


32
，故数列

a
2


是
以a121

22

1
为首项，以
32
为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
a
2

1
13，2
所以数列a
的通项公式为
a


32



12
2
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式a
1
2a


3
2

转化为
a
12
1
a
2


3，说明数列2

a
2


是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出
a
2

1
1
3，进而求出数列2
a
的通项公式。
练习题：
1已知数列a
满足a
13a
23
1，a13，求数列a
的通项公式。
2
已知数列a
满足a1

12
，
a
1
a



2
1


，求
a


例2已知数列a
满足a
1a
2
1，a11，求数列a
的通项公式。
解：由a
1a
2
1得a
1a
2
1则
a
a
a
1a
1a
2a3a2a2a1a12
112
2122121112
1
221
112
1
112
1
11
2
1
f所以数列a
的通项公式为a
2。
评注：本题解题的关键是把递推关系式a
1a
2
1转化为a
1a
2
1，进而求出a
a
1a
1a
2a3a2a2a1a1，即得数列a
的通项公式。
二、累乘法
类型2a
1f
a
解法：把原递推公式转化为a
1f
，利用累乘法逐商相乘法求解。
a
例3已知数列a
满足a
12
15
a
，a13，求数列a
的通项公式。
解：因为a
1

2
15

a
，a1

3，所以a


0
，则
a
1a


2

15
，故
a


a
a
1

a
1a
2


a3a2

a2a1
a1
2
115
12
215
2
22152211513
2
1
1325
1
2213

1
32
152


1
所以数列a
的通项公式为a
32
152

评注：本题解题的关键是把递推关系a
1
2
15
a

转化为
a
1a


2

15
，进而求
出a
a
1a
1a
2

a3a2

a2a1

a1
，即得数列a
的通项公式。
例4已知数列a
满足a11，a
a12a23a3
项公式。

1a
1
2，求a
的通
解：因为a
a12a23a3
1a
1
2
①
所以a
1a12a23a3
1a
1
a

②
用②式－①式得a
1a
a

2
f则a
1
1a
2
故a
1
1
2a

所以a


a
a
1

a
1a
2


a3a2
a2


1

43a2


2
a2

由a
a12a23a3
1a
1
2，取
2得a2a12a2，则a2a1，又知
a11，则a21，代入③得a
1345

。2
所以，a
的通项公式为
a


2
评注：本题解题的关键是把递推关系式a
1


1a
r