求数列通项公式
一、公式法
类型1a
1a
f
解法:把原递推公式转化为a
1a
f
,利用累加法逐差相加法求解。
例1已知数列a
满足a
12a
32
,a12,求数列a
的通项公式。
解:a
1
2a
32
两边除以
2
1
,得
a
12
1
a
2
32
,则
a
12
1
a
2
32
,故数列
a
2
是
以a121
22
1
为首项,以
32
为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得
a
2
1
13,2
所以数列a
的通项公式为
a
32
12
2
。
评注:本题解题的关键是把递推关系式a
1
2a
3
2
转化为
a
12
1
a
2
3,说明数列2
a
2
是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出
a
2
1
1
3,进而求出数列2
a
的通项公式。
练习题:
1已知数列a
满足a
13a
23
1,a13,求数列a
的通项公式。
2
已知数列a
满足a1
12
,
a
1
a
2
1
,求
a
例2已知数列a
满足a
1a
2
1,a11,求数列a
的通项公式。
解:由a
1a
2
1得a
1a
2
1则
a
a
a
1a
1a
2a3a2a2a1a12
112
2122121112
1
221
112
1
112
1
11
2
1
f所以数列a
的通项公式为a
2。
评注:本题解题的关键是把递推关系式a
1a
2
1转化为a
1a
2
1,进而求出a
a
1a
1a
2a3a2a2a1a1,即得数列a
的通项公式。
二、累乘法
类型2a
1f
a
解法:把原递推公式转化为a
1f
,利用累乘法逐商相乘法求解。
a
例3已知数列a
满足a
12
15
a
,a13,求数列a
的通项公式。
解:因为a
1
2
15
a
,a1
3,所以a
0
,则
a
1a
2
15
,故
a
a
a
1
a
1a
2
a3a2
a2a1
a1
2
115
12
215
2
22152211513
2
1
1325
1
2213
1
32
152
1
所以数列a
的通项公式为a
32
152
评注:本题解题的关键是把递推关系a
1
2
15
a
转化为
a
1a
2
15
,进而求
出a
a
1a
1a
2
a3a2
a2a1
a1
,即得数列a
的通项公式。
例4已知数列a
满足a11,a
a12a23a3
项公式。
1a
1
2,求a
的通
解:因为a
a12a23a3
1a
1
2
①
所以a
1a12a23a3
1a
1
a
②
用②式-①式得a
1a
a
2
f则a
1
1a
2
故a
1
1
2a
所以a
a
a
1
a
1a
2
a3a2
a2
1
43a2
2
a2
由a
a12a23a3
1a
1
2,取
2得a2a12a2,则a2a1,又知
a11,则a21,代入③得a
1345
。2
所以,a
的通项公式为
a
2
评注:本题解题的关键是把递推关系式a
1
1a
r