其通解为1100k2110，k为任意常数
TT
1212a3的一个特征向量，19解：1）由于ξ1是矩阵A511b2
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f山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案
所以有
1212IAξ5a3101b21
即：
21205a30．解得1b20
由1）得
a3，b0，1
2）
212A533102
，
所
以
，
2IA5
1
而
1
3
0
312
2
3
因此1是矩阵A的3重特征根．
312RIAR523101
因此矩阵A不能相似于对角矩阵．
2
从而1所对应的线性无关的特征向量只有一个，20、证：因为RⅠRⅡ3，所以向量组α1，α2，α3线性无关，而
α1，α2，α3，α4
线性相关，所以，存在数1，2，3，使得
α41α12α23α3
设有数k1，k2，k3，k4，使得
（）
k1α1k2α2k3α3k4α5α40
将（）式代入上式并化简，得
k11k4α1k22k4α2k33k4α3k4α50
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f山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案
由于RⅢ4，所以向量组α1，α2，α3，α5线性无关．因此，由上式，得
k1
1k40k22k40，k33k40k40
解此方程组，得k1k2k3k40，因此，向量组
α1，α2，α3，α5α4
线性无关，即此向量组的秩为4．
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