空间向量及其运算（2）
一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．四、教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：ab．2．共线向量定理：对空间任意两个向量abb0ab的充要条件是存在实数，使ab（唯一）．推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAtAB①，其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB或OP1tOAtOB②




















l

11当t时，点P是线段AB的中点，此时OPOAOB③22①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式．
3．向量与平面平行：
aPBA
O
Aa，已知平面和向量a，作O如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量aa平行于平面，记作：a．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．说明：空间任意的两向量都是共面的．4．共面向量定理：
a

如果两个向量ab不共线，p与向量ab共面的充要条件是存在实数xy使



pxayb．
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对xy，使
或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB①MPxMAyMB
上面①式叫做平面MAB的向量表达式．（三）例题分析：例1．已知ABC三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP

221OAOBOC，555
f试判断：点P与ABC是否一定共面？解：由题意：5OPOA2OB2OC，∴OPOA2OBOP2OCOP，∴AP2PB2PC，即PA2PB2PC，所以，点P与ABC共面．说明：在用共面向量定理及其推论的充r