第八章
空间问题的解答
§81按位移求解空间问题将几何方程代入物理方程,得出用位移分量表示应力分量的弹性方程如下:
uEθ112xEυσyθ112yEωσzθ112zEωυτyz21yzEuωτzx21zxEυuτxy21xyσx
其中
(81)
θ
uυω。xyz
再将上面的弹性方程(81)代入平衡微分方程(71),并采用记号
2
2x
2
2y
2
2z
2
,得到
f1θE2ufx02112xE1θ2υfy02112yE1θ2ωfz02112z
所需用的基本微分方程。
(82)
这是用位移分量表示的平衡微分方程,也就是按位移求解空间问题时
如果将工(81)代入式(75),就能把应力边界条件用位移分量来表示,但由于这样得出的方程太长,我们宁愿把应力边界条件保留为式(75)的形式,而理解其中的应力分量系通过式(81)用位移分量表示。位移边界条件则仍然如式(79)所示。
§82半空间体受重力及均布压力
设有半空间体,密度为ρ,在水平边界上受均布压力q,图81,以边界面为
xy
面,
z
轴铅直向下。这样,体力分量就是
fx0fy0fzρg。
f采用按位移求解。由于对称(任一铅直平面都是对称面),试假设
u0υ0ωωz。
这样就得到
(a)
θθd2ωuυωdωθθ00xyzdzxyzdz2
可见基本微分方程(82)中的前二式自然满足,而第三式成为
E1d2ωd2ωρg0222112dzdz
简化以后得
d2ωdz
积分以后得
2
112ρgE1
(b)
θ
112ρgdωzAdzE1112ρgzA2B2E1
(c)
ω
d
其中A和B是待定常数。现在,试根据边界条件来决定常数A和B。将以上的结果代入弹性方程(81),得
σxσy
ρgzAσzρgzA1
(e)
τyzτzxτxy0
在z
0的边界面上,m0而。l因为fxfy0而fxq,
所以应力边界条件(75)中的前二式自然满足,而第三式要求
fσzz0q
将式(e)中σz的表达式代入,得ρgAq,即Aq回式(e),即得应力分量的解答
ρg。再代
σxσyτyzτzx
qρgzσzr