第八章
空间问题的解答
§81按位移求解空间问题将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程如下：
uEθ112xEυσyθ112yEωσzθ112zEωυτyz21yzEuωτzx21zxEυuτxy21xyσx
其中
（81）
θ
uυω。xyz
再将上面的弹性方程（81）代入平衡微分方程（71），并采用记号

2
2x
2

2y
2

2z
2
，得到
f1θE2ufx02112xE1θ2υfy02112yE1θ2ωfz02112z
所需用的基本微分方程。
（82）
这是用位移分量表示的平衡微分方程，也就是按位移求解空间问题时
如果将工（81）代入式（75），就能把应力边界条件用位移分量来表示，但由于这样得出的方程太长，我们宁愿把应力边界条件保留为式（75）的形式，而理解其中的应力分量系通过式（81）用位移分量表示。位移边界条件则仍然如式（79）所示。
§82半空间体受重力及均布压力
设有半空间体，密度为ρ，在水平边界上受均布压力q，图81，以边界面为
xy
面，
z
轴铅直向下。这样，体力分量就是
fx0fy0fzρg。
f采用按位移求解。由于对称（任一铅直平面都是对称面），试假设
u0υ0ωωz。
这样就得到
（a）
θθd2ωuυωdωθθ00xyzdzxyzdz2
可见基本微分方程（82）中的前二式自然满足，而第三式成为
E1d2ωd2ωρg0222112dzdz
简化以后得
d2ωdz
积分以后得
2

112ρgE1
（b）
θ
112ρgdωzAdzE1112ρgzA2B2E1
（c）
ω
d
其中A和B是待定常数。现在，试根据边界条件来决定常数A和B。将以上的结果代入弹性方程（81），得
σxσy
ρgzAσzρgzA1


（e）
τyzτzxτxy0
在z
0的边界面上，m0而。l因为fxfy0而fxq，
所以应力边界条件（75）中的前二式自然满足，而第三式要求
fσzz0q
将式（e）中σz的表达式代入，得ρgAq，即Aq回式（e），即得应力分量的解答
ρg。再代
σxσyτyzτzx
qρgzσzr