第七节
立体几何中的向量方法
考纲传真教师用书独具1理解直线的方向向量与平面的法向量2能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系3能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些简单定理包括三垂线定理4能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
对应学生用书第122页基础知识填充1．空间位置关系的向量表示直线l1，l2的方向向量分别为
1，
2直线l的方向向量为
，平面α的法向量为m平面α，β的法向量分别为
，m2异面直线的夹角已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2π当0≤〈s1，s2〉≤时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉；2当π＜〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于π－〈s1，s2〉．2
l1∥l2l1⊥l2l∥αl⊥α
α∥βα⊥β

1∥
2
1＝λ
2
1⊥
2
1
2＝0
⊥m
m＝0
∥m
＝λm
∥m
＝λm
⊥m
m＝0
3．直线与平面的夹角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为
，直线l与平面α的夹角为θ，a
则si
θ＝cos〈a，
〉＝a
4．二面角1如图7711，AB，CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二→→面角的大小θ＝〈AB，CD〉．
图7712如图77123，
1，
2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，
1
f则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈
1，
2〉，二面角的平面角大小是向量

1与
2的夹角或其补角．
基本能力自测1．思考辨析判断下列结论的正误．正确的打“√”，错误的打“×”1若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．2若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合．3两直线的方向向量所成的角就是两条直线的夹角．
4直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面的夹角．5两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．
ππ6两异面直线夹角的范围是0，，直线与平面夹角的范围是0，，二面角的22
范围是0，π．5×6√答案1√2√3×4×
2．教材改编设u＝－22，t，v＝6，－44分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝A．3CB．4C．5D．6
∵α⊥β，则uv＝－2×6＋2×－4＋4t＝0，
∴t＝53．已知A100，B010，C001，则下列向量是平面ABC法向量的是A．－111C．－CB．1，－11D．333，，－333

333，－，－333
设
＝x，y，z为平面ABC的法向量，
－r