高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型1a
1a
f

解法：把原递推公式转化为a
1a
f
，利用累加法逐差相加法求解。
例已知数列a

满足
a1

12
，
a
1

a


1
2


，求
a

。
解：由条件知：a
1

a


1
2



1
1

1


1
1
分别令
123
1，代入上式得
1个等式累加之，即
a2a1a3a2a4a3a
a
1
11111111
22334

1

所以
a


a1
1
1

a1

12
，a


12
1
1


32

1

变式（2004，全国I，个理22．本小题满分14分）
已知数列a
中a11，且a2ka2k－1－1Ka2k1a2k3k其中k123……
（I）求a3a5；（II）求a
的通项公式
解：a2ka2k11k，a2k1a2k3k
a2k1a2k3ka2k11k3k，即a2k1a2k13k1k
a3a131，
a5a33212
…………
a2k1a2k13k1k
将以上k个式子相加，得
a2k1
a1

332
3k
112
1k


33k2
1
11k2
1
将a11代入，得
1
fa2k1

13k12

11k2
1，
a2k

a2k1
1k

13k2

11k2
1。
经检验a1
1也适合，
a


1

2
1
2

1
32

1

1
12
1
为奇数
2

32

1

12
1
为偶数
2
类型2a
1f
a

解法：把原递推公式转化为a
1f
，利用累乘法逐商相乘法求解。a

例已知数列a
满足
a1

23
，
a
1


1a

，求
a

。
解：由条件知a
1
，分别令
123
1，代入上式得
1个等式累乘a
1
之，即
a2a3a4a
123
1a
1
a1a2a3
a
1234


a1

又a1

23
，a


23

例已知
a1

3，
a
1

3
13
2
a

1，求a
。
解：a


3
113
12

3
213
22

321322

3132
a1
3
43
752363
13
4853
1。
变式（2004，全国I理15．）已知数列a
，满足a11，a
a12a23a3
1a
1

≥2，则a
的通项a


1___

1
2
解：由已知，得a
1a12a23a3
1a
1
a
，用此式减去已知式，得
当
2时，a
1a
a
，即a
1
1a
，又a2a11，
a1
1a2a1
1a3a2
3a4a3
4a
a
1

，将以上
个式子相乘，得a


2

2
2
f类型3a
1pa
q（其中p，q均为常数，pqp10）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：a
1
t

pa

t，其中t

q1
p
，再利用
换元法转化为等比数列求解。
例已知数列a
中，a11，a
12a
3，求a
r