§24格林函数法解的积分公式格林函数法
在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法格林函数方法。格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。一、泊松方程的格林函数法为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。设u（r）和v（r）在区域T及其边界Σ上具有连续一阶导数，而在T中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分
Σ
vuvdS∫∫
化成体积积分
vuvdS∫∫∫uvdV∫∫∫uvdV∫∫∫uvdV∫∫
ΣTTT
（1211）
这叫作第一格林公式第一格林公式。同理，又有第一格林公式
vvudS∫∫∫vudV∫∫∫uvdV∫∫
ΣTT
（1212）
（1211）与（1212）两式相减，得
Σ
vuvvudS∫∫∫uvvudV∫∫
T
亦即
∫∫u
v
dS∫∫∫uvvudV
ΣT
v
u
（1213）

表示沿边界Σ的外法向求导数。（1213）叫作第二格林公式第二格林公式。第二格林公式
现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是
vufr
vr∈T
1
（1214）
f第一、第二、第三类边界条件可统一地表为
uαβuM
Σ
（1215）
其中（M）是区域边界Σ上的给定函数。α＝0，β≠0为第一类边界条件，α≠0，β＝0是第二类边界条件，α、β都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成第一边值问题或狄里希利问题的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫第二边值问题或诺依曼问题作第三边值问题第三边值问题。第三边值问题为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。§53中介绍的δ函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以v（r，r0）表示位于r0点的单位强度的正点源在r点产生的场，即v（r，r0）应满足方程
vvvvvrr0δrr0
u（r）乘（1216），相减，然后在区域T中求积分，得
（1216）
现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。vr