210121012101
3分II每一列所有数之和分别为2，0，2，0，每一行所有数之和分别为1，1①如果首先操作第三列，则
aa21aa22a1a22aa2
则第一行之和为2a1，第二行之和为52a，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，
10
f所以a
15或a221时，则接下来只能操作第一行，2
aa22aa2
当a
a1a22a1a2
此时每列之和分别为22a22a222a2a2必有22a20，解得a01当a
5时，则接下来操作第二行2
aa21aa2a2a21a2a2
此意6分②如果首先操作第一行时第4列和为负，不符合题

a1a22a1a2
aa2a2a2
则每一列之和分别为22a，22a2，2a2，2a2当a1时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉当a1时，22a，2a2至少有一个为负数，所以此时必须有22a20，即1a1，所以a0或a1经检验，a0或a1符合要求综上：
a0

9分
1
（III）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。证明如下：记数表中第i行第j列的实数为cij（i12mj12
），各行的数字之和分别为
a1a2am，各列的数字之和分别为b1b2b
，Aa1a2am，Bb1b2b
，
数表中m
个实数之和为S，则SAB。记
Kmi
k1ci1k2ci2k
ci
kl1或1l12
且k1ci1k2ci2k
ci
0
1im


11
fTmi
t1c1jt2c2jtmcmjts1或1s12m且t1c1jt2c2jtmcmj0
1j




mi
KT．
按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起A（和B）增大，从而也就使得S增加，增加的幅度大于等于2，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，S必然小于等于最初的数表中m
个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，S就又会继续上升，导致矛盾，故结立13分论成。
12
fr