滚动小专题七
与圆有关的计算与证明
类型1与圆的基本性质有关的计算与证明1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD1求证：BD平分∠ABC；2当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD
证明：1∵OD⊥AC，OD为半径，∴CD＝AD∴∠CBD＝∠ABD∴BD平分∠ABC2∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝30°又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°1∴在Rt△ACB中，BC＝AB21又∵OD＝AB，2∴BC＝OD2．2018温州如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上．1求证：AE＝AB；12若∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2，求BC的长．3
解：1证明：由题意，得△ADE≌△ADC，∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC∵∠ABD＝∠AED，∴∠ABD＝∠ACD∴AB＝AC，∴AE＝AB2过点A作AH⊥BE于点H∵AB＝AE，BE＝2
1
f∴BH＝EH＝11∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，cos∠ADB＝，31∴cos∠ABE＝cos∠ADB＝3∴BH1＝AB3
∴AC＝AB＝3∵∠BAC＝90°，AC＝AB，∴BC＝323．2018包头如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点D，BA的延长线交⊙A于点E，连接CD，CE，F是⊙A上一点，点F与点C位于BE两侧，且∠FAB＝∠ABC，连接BF1求证：∠BCD＝∠BEC；2若BC＝2，BD＝1，求CE的长及si
∠ABF的值．
解：1证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°∵DE是⊙A的直径，∴∠DCE＝90°∴∠BEC＋∠CDE＝90°∵AD＝AC，∴∠CDE＝∠ACD∴∠BCD＝∠BEC2∵∠BCD＝∠BEC，∠CBD＝∠EBC，CDBDBC∴△BDC∽△BCE∴＝＝ECBCBE∵BC＝2，BD＝1，∴BE＝4，EC＝2CD∴DE＝BE－BD＝3222在Rt△DCE中，DE＝CD＋CE＝93565∴CD＝∴CE＝55过点F作FM⊥AB于点M，∵∠FAB＝∠ABC，∠FMA＝∠ACB＝90°，FMAF∴△AFM∽△BAC∴＝ACBA35∵DE＝3，∴AD＝AF＝AC＝，AB＝229∴FM＝10过点F作FN⊥BC于点N，∴∠FNC＝90°∵∠FAB＝∠ABC，∴FA∥BC∴∠FAC＝∠ACB＝90°∴四边形FNCA是矩形．
2
f331∴FN＝AC＝，NC＝AF＝，∴BN＝222在Rt△FBN中，BF＝BN＋FN＝
22
10，2
FM910∴在Rt△FBM中，si
∠ABF＝＝BF50
类型2与圆的切线有关的计算与证明4．2018滨州如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB求证：1直线DC是⊙O的切线；22AC＝2ADAO
证明：1连接OC∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC∴∠DAC＝∠OCA∴OC∥AD又∵AD⊥CDr