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2005年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
9月17日上午8：30－10：30一、选择题（本题满分30分，每小题5分）本题共有6小题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且只有一个是正确。请将正确答、、、案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得5分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1．已知正项非常值数列a
，b
满足：a
b
a
1成等差数列，b
a
1b
1成等比数列。c
令则下列关于数列c
的说法正确的是（A）c
为等差数列（C）c
的每一项为奇数
2
b
，
（B）c
为等比数列（D）c
的每一项为偶数
解：由题可知，2b
a
1a
，a
1b
b
1，∴a
1∴2b

b
b
1
b
1b
b
b
1，即2b
b
1b
1，∴c
为等差数列，故选A
2．在△ABC中，abc分别是角ABC所对边的边长，若cosAsi
A的值是（A）1（B）2（C）3（D）2
2ab0，则cosBsi
Bc
解：由cosAsi
A
2π0得，2si
A4cosBsi
B
22si
B
π
4
0
即si
A
π
4
si
B
π
4
1，由正弦函数的有界性及AB为三角形的内角可知，
si
A
∴
π
4
1且si
B
π
4
1，从而AB
π
4
，∴C
π
2
absi
Asi
B2c
3．函数fx9x9x23x3x的最小值是（A）1（B）2（C）3（D）2
解：fx9x9x23x3x3x3x223x3x2令t33
xx
≥2，则yt22t2t123，最小值为2，故选D
4．双曲线
x2y21的左焦点为F1，顶点为A1A2，P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段a2b2
PF1A1A2为直径的两圆一定
、
f、
、
（A）相交
（B）内切
（C）外切
（D）相离
解：设双曲线的另一个焦点为F2，线段PF1的中点为C，在△F1F2P中，C为PF1的中点，O为F1F2的中点，从而OC
11PF2PF1A1A2，从而以线段PF1A1A2为直径的两圆一定内切。22
2
5．设A12L10，若“方程xbxc0满足bc∈A，且方程至少有一根a∈A”，就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为（A）8（B）10（C）12（D）14解：由题可知，，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为1时，9个满足题意的有“漂亮方程”，当一根为2时，有3个满足题意的“漂亮方程”。共有12个，故选C。6．设a1a2a3a4是1234的任一排列，f是1234到1234的映射，且满足fir