第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法
【考纲要求】理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。【基础知识】
区间具有严格的单调性，区间D叫做yfx的单调区间。否则都叫函数不具有严格的单调性。3、判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像（1）定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设x1x2D，且x1x2；②作差，求
fx1fx2；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断fx1fx2
的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论。（2）复合函数分析法设yfu，ugxxab，um
都是单调函数，则yfgx在ab上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：
设fx在某个区间ab内有导数fx，若fx在区间ab内，总有
fx0fx0，则fx在区间ab上为增函数（减函数）。
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（4）图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间D，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间D是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数。4、求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像（1）定义法
f（2）复合函数法先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性。（3）导数法
在其对称区间上的单调性相减，如函数yx。
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（2）在公共的定义域内，增函数增函数是增函数，减函数减函数是减函数。其他的如增函数增函数不一定是增函数，函数yx和函数yx都是增函数，但是它们的乘
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积函数yx不是增函数。
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（3）求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。（4）单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。（5）在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开。【方法讲评】
例1
证明函数fxx
ax
a0在区间a是增函数。
解：设ax1x2，fx2fx1x2
x1x2x2x1ax2x1x1x2
ax2
x1
ax1

x2x1ax1x1x2axx1x2
2
2
2


x2x1x1x2ax1x2

ax1x2
x2x10
r