2009年全国高中数学联合竞赛一试试题
（考试时间：10月11日上午8∶009∶20）
一、填空题：本大题共8小题，每小题7分，共56分．把答案填在横线上．
1．若函数fx
x1x
2
，且f


x
2
ffffx，则f991

．
2．已知直线L：xy90和圆M：2x2y8x8y10，A在直线L上，B、点
2
C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围
为．
y≥03．在坐标平面上有两个区域M和N，M为：y≤xN是随t变化的区域，它由不等y≤2x
式t≤x≤t1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，设M和N的公共面积是函数ft，则
ft
4．使不等式的值为5．椭圆
．
1111a2007对一切正整数
都成立的最小正整数a
1
22
13
．
x2y21（ab0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积OPOQ的a2b2
．．
最小值为
6．若方程lgkx2lgx1仅有一个实根，那么k的取值范围是
7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）．8．某车站每天8∶009∶00，9∶0010∶00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻概率8∶109∶108∶309∶308∶509∶50
16
12
13
（精确到分）．
一旅客8∶20到车站，则它候车时间的数学期望为
二、解答题：本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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f1．（本小题满分14分）设直线l：ykxm（其中k，m为整数）与椭圆
x2y21交1612
于不同两点A，B，与双曲线
x2y21交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得412
向量ACBD0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
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f2．（本小题满分15分）已知p，q（q≠0）是实数，方程xpxq0有两个实根α，
2
β，数列a
满足a1p，a2p2q，a
pa
1qa
2（
3，4，…）．
（I）求数列a
的通项公式（用α，β表示）；（II）若p1，q
1，求a
的前
项和．4
3．（本小题满分15分）求函数y
x2713xx的最大值和最小值．
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f2009年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）
（考试时间：10月11日上午9∶4012∶10）
一、如图，M，N分别为锐角三角形△ABC（∠A∠B）的外接圆Γ上弧BC、AC的中点r