最小二乘法拟合原理最小二乘法拟合原理
姓名学号09200200
摘要介绍了最小二乘的基本原理直线的最小二乘拟合方法包括直线参数的估计给出了拟合结果的偏差求得了相关系数最后进行了显著性检验关键字关键字最小二乘法直线拟合显著性检验
1引言
在测量中经常要观测两个有函数关系的物理量根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线这就是实验数据处理中的曲线拟合问题这类问题通常有两种情况一种是两个观测量x与y之间的函数形式已知但一些参数未知需要确定未知参数的最佳估计值另一种是x与y之间的函数形式还不知道需要找出它们之间的经验公式后一种情况常假设x与y之间的关系是一个待定的多项式多项式系数就是待定的未知参数从而可采用类似于前一种情况的处理方法
2最小二乘法原理
在两个观测量中往往总有一个量精度比另一个高得多为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差并把这个观测量选作x而把所有的误差只认为是
y的误差设x和y的函数关系由理论公式yfxc1c2……cm
1
给出其中c1c2……cm是m个要通过实验确定的参数对于每组观测数据xiyii12……N都对应于xy平面上一个点若不存在测量误差则这些数据点都准确落在理论曲线上只要选取m组测量值代入式001便得到方程组
yifxc1c2……cm
2
式中i1……2m求m个方程的联立解即得m个参数的数值显然Nm时参数不能确定在Nm的情况下式2成为矛盾方程组不能直接用解方程的方法求得
fm个参数值只能用曲线拟合的方法来处理设测量中不存在着系统误差或者说已经修正则y的观测值yi围绕着期望值fxc1c2……cm摆动其分布为正态分布则yi的概率密度为
pyi
yifxic1c2cm2exp22σi2πσi1
式中σi是分布的标准误差为简便起见下面用C代表c1c2……cm考虑各次测量是相互独立的故观测值y1y2……cN的似然函数L1NyifxC2exp∑N2σi2i12πσ1σ2σN1


取似然函数L最大来估计参数C应使
1∑σy
i12i
N
i
fxiCmi
2
3
取最小值对于y的分布不限于正态分布来说式3称为最小二乘法准则若为正态分布的情况则最大似然法与最小二乘法是一致的因权重因子
ωi1σi2故式3表明用最小二乘法来估计参数要求各测量值yi的偏差
的加权平方和为最小根据式3的要求应有
ck
从而得到方程组
1∑σy
i12i
N
i
fxiC
2cc
0
k12m
1∑σy
i12i
N
i
fxiC
fr