xCcc0Ck
k12m
4
解方程组4即得m个参数的估计值c1c2cm从而得到拟合的曲线方程fxc1c2cm然而对拟合的结果还应给予合理的评价若yi服从正态分布可引入拟合的x2量
fx2∑
i1
N
1
σ
2i
yifxiC2
5
2
便得到最小的x把参数估计cc1c2cm代入上式并比较式003值
x
2
2mi

∑
i1
N
1
σ
2i
yifxic2
6
可以证明xmi
服从自由度vNm的x2分布由此可对拟合结果作x2检验由x2分布得知随机变量xmi
的期望值为Nm如果由式6计算出xmi
接
2近Nm例如xmi
≤Nm则认为拟合结果是可接受的如果
2xmi
Nm2则认为拟合结果与观测值有显著的矛盾
2
2
3直线的最小二乘拟合
曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合x和y之间的函数关系由直线设方程
ya0a1x
7
给出式中有两个待定参数a0代表截距a1代表斜率对于等精度测量所得到的N组数据xiyii12……Nxi值被认为是准确的所有的误差只联系着yi下面利用最小二乘法把观测数据拟合为直线
31
直线参数的估计
前面指出用最小二乘法估计参数时要求观测值yi的偏差的加权平方和
为最小对于等精度观测值的直线拟合来说由式3可使
∑ya
i1i
N
0
a1xi
2aa
8
最小即对参数a代表a0a1最佳估计要求观测值yi的偏差的平方和为最小根据式8的要求应有
a0
∑yia0a1xi2
i1
N
aa
2∑yia0a1xi0
i1
N
fN∑yia0a1xi2a1i1
整理后得到正规方程组
aa
2∑yia0a1xi0
i1
N
a0Na1∑xi∑yi2a0∑xia1∑xi∑xiyi
解正规方程组便可求得直线参数a0和a1的最佳估计值a0和a1即
9
a0
∑x∑y∑x∑xyN∑x∑x
2iiiii2i2i
10
a1
N∑xiyi∑xi∑yiN
∑x∑x
2i
i


11
2
32
拟合结果的偏差
由于直线参数的估计值a0和a1是根据有误差的观测数据点计算出来的它
们不可避免地存在着偏差同时各个观测数据点不是都准确地落地拟合线上面的观测值yi与对应于拟合直线上的yi这之间也就有偏差因等精度测量值yi所有的σi都首先讨论测量值yi的标准差S考虑式6相同可用yi的标准偏差S来估计故该式在等精度测量值的直线拟合中应表示为
2xmi

1S2
2
∑ya
i1i
N
0
a1x
2
12
已知测量值服从正态分布时xmi
服从自由度vN2的x2分布其期望值
2xmi

1S2
∑ya
i1i
N
0
a1xi
2
N2
由此可得yi的标准偏差
Sr