已知离散型随机变量
X
的密度函数为Fx

a
1

2

1
x00x1
且数学期望
1x2
x2
13
f2012安徽专升本分析
EX43
求1a的值2X的分布列；3方差DX．
解：1由分布函数的性质知随机变量X的可能取值为0、1、2，且
PX0aPX11aPX21
2
2
因EX0a11a213a4
2
22
3
所以a16
2由（1）即得X的分布列为
X
0
1
2
1
1
1
P
6
3
2
3EX20211212217
6
3
23
14
f2012安徽专升本分析
参见冲刺试卷220题．设随机变量X的概率分布律为
X
－10
1
P
16a
b
且EX13，则DX＝________．
解：由题意知1ab1EX1b1a1b1
6
63
32
EX2112故DXEX2EX2215
623
399
参见模考试卷129．设离散型随机变量的分布列为

1
2
3
4
Pk
a
03
b
02
且的数学期望E27求（1）常数ab的值；（2）的分布函数Fx；（3）
的方差D
四、证明题与应用题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。
29．设uxy2fx，其中ft可微，证明xzyz3u
y
xy
证明：因为uy2fxxy2fx1
x
y
yy
y2fxxyfx
y
y
uy

2xyf
xy

xy2
f

xy




xy2

2xyfxx2fx
y
y
15
f2012安徽专升本分析
故xuyuxy2fxx2yfx2xy2fxx2yfx
xy
y
y
y
y
3xy2fx3uy
9分
参见冲刺试卷216题．设zxyfy，且fx可导，则x
xzyz
．
xy
30．设D是由曲线yl
xxe及x轴所围成的的平面区域
求1平面区域D的面积S2D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V．
解区域D如图阴影部分所示。曲线yl
x与x轴及y
xe的交点坐标分别为10e1
e1
（1）平面区域D的面积
yl
x
e
e
Sl
xdxxl
xx1
1
1
（2）D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V
O1
ex
Ve211ey2dy0
e21e2ydye2e2y1
0
20
e212
这是最基本的题型每套试卷都有
31．证明不等式：当abe时，bl
bae271828al
ab
证明设fxxl
xxe则fx1l
x0xe
所以fxxl
x在xe上单调递增从而当当abe时有
fa

f
b即al
abl
b即
l
b

a

l
ab
16
f2012安徽专升本分析
令
gx

l
xx

x
e
则
gx

1l
x2
x

0
x
e
所以gxl
x在xe上单调递减从而当当abe时有x
fafb即l
al
b从而bl
b
ab
al
a
综上所述当abe时，有bl
baal
ab
参见教材P71例8．设bae，证明：abba证：选择适当的函数fx，要证abba，只需证明bl
aal
b
17
fr