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FCBDEH。
同理,E、D在以AB为直径的圆上,可得BEDBAD。BADBCF,又ABD与BCF有公共角DBF,BFCADB90,即CHAB。过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆,该圆是ABC的外接圆,圆心O为三角形的外心。三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点。练习11求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形。
2.(1)若ABC的面积为S,且三边长分别为a、b、c,则的内切圆的半径是。并请说明理由。
(2)若Rt三边长分别为a、b、c(其中c为斜边长),则的内切圆的半径是。并请说明理由。
3
f322
几种特殊的三角形
等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一。因而在等腰ABC中,三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上。
图3210
图3211
图3212
图3213
例5在ABC中,ABAC3BC2求(1)ABC的面积及AC边上的高BE;(2)ABC的内切圆的半径r;(3)ABC的外接圆的半径R。解(1)如图,作ADBC于D。
ABACD为BC的中点,
ADAB2BD222
SABC
又SABC
1222222
142ACBE解得BE。23
(2)如图,I为内心,则I到三边的距离均为r,连IAIBIC,
SABCSIABSIBCSIAC,
即22解得r
111ABrBCrCAr,222
2。2
(3)ABC是等腰三角形,外心O在AD上,连BO,
222则RtOBD中,ODADROBBDOD
4
fR222R212解得R
928
在RtABC中,A为直角,垂心为直角顶点A,外心O为斜边BC的中点,内心I在三角形的内部,且内切圆的半径为的长),为什么?该直角三角形的三边长满足勾股定理:ACABBC。例6如图,在ABC中,ABAC,P为BC上任意一点。求证:APABPBPC。
22
222
bca(其中abc分别为三角形的三边BCCAAB2
证明:过A作ADBC于D。在RtABD中,ADABBD。
222
在RtAPD中,APADDP。
222
AP2AB2BD2DP2AB2BDDPBDDP
ABACADBCBDDC。
BDDPCDDPPC。
图3214
AP2AB2PBPC。
正三角形三条边长相等,三个角相等,且四心(内心、重心、垂心、外心)合一,该点称为正三角形的中心。
ABC例7已知等边ABC和点P,设点P到三边AB,AC,BC的距离分别为h1h2h3,
的高为h,“若点P在一边BC上,此时r
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