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三角形
3．2．1三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。
图321
图322
图323
如图321，在三角形ABC中，有三条边ABBCCA，三个角ABC，三个顶点ABC，在三角形中，角平分线、中线、高（如图322）是三角形中的三种重要线段。三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心。三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点。例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1。已知D、E、F分别为ABC三边BC、CA、AB的中点，求证AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1。证明连结DE，设AD、BE交于点G，
D、E分别为BC、AE的中点，则DEAB，且DE
GDE∽GAB，且相似比为1：2，
1AB，2
图324
AG2GDBG2GE。
设AD、CF交于点G，同理可得，AG2GDCG2GF则G与G重合，AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成21。
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心。三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等。（如图325）例2已知ABC的三边长分别为BCaACbABc，I为
1
图325
fABC的内心，且I在ABC的边BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F，求证：
AEAF
bca。2
证明作ABC的内切圆，则D、E、F分别为内切圆在三边上的切点，
AEAF为圆的从同一点作的两条切线，
AEAF，
同理，BDBF，CDCE。
cbaAFBFAECEBDCD
AFAE2AF2AE
即AEAF
bca。2
图326
例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形。已知O为ABC的重心和内心。求证ABC为等边三角形。证明如图，连AO并延长交BC于D。O为三角形的内心，故AD平分BAC，

ABBD（角平分线性质定理）ACDC
AB1，即ABAC。AC
图327
O为三角形的重心，D为BC的中点，即BDDC。

同理可得，ABBC。
ABC为等边三角形。
三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心。锐角三角形的垂心一定
图328
在三角形的内部，直角三角形的垂心为它的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部。
2
f（如图328）例4求证：三角形的三条高交于一点。已知ABC中，ADBC于DBEAC于E，AD与BE交于H点。求证CHAB。证明以CH为直径作圆，
ADBC于DBEAC于E
HDCHEC90
D、E在以CH为直径的圆上，r