圆锥曲线中的热点问题
1本部分主要以解答题形式考查,往往是试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物线为背景,考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题,试题难度较大2求轨迹方程也是高考的热点与重点,若在客观题中出现通常用定义法,若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法,往往出现在解答题的第1问中.
1.直线与圆锥曲线的位置关系1直线与椭圆的位置关系的判定方法:将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若Δ0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ0,则直线与椭圆相离.2直线与双曲线的位置关系的判定方法:将直线方程与双曲线方程联立,消去y或x,得到一个一元方程ax+bx+c=0或ay+by+c=0.①若a≠0,当Δ0时,直线与双曲线相交;当Δ=0时,直线与双曲线相切;当Δ0时,直线与双曲线相离.②若a=0时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点.3直线与抛物线的位置关系的判定方法:将直线方程与抛物线方程联立,消去y或x,得到一个一元方程ax+bx+c=0或ay+by+c=0.①当a≠0时,用Δ判定,方法同上.②当a=0时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点.2.有关弦长问题有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.1斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1x1,y1,P2x2,y2,则所得弦长P1P2=1+kx2-x1或P1P2=
22222
11+2y2-y1,其中求x2-x1与y2-y1时通常使用根与系数的
k
关系,即作如下变形:x2-x1=y2-y1=
x1+x2y1+y2
2
-4x1x2,-4y1y2
2
2当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接运算利用两点间距离公式.3.弦的中点问题
1
f有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算.
考点一圆锥曲线的弦长及中点问题例1已知椭圆G:2+2=1ab0的离心率为
x2y2ab
6,右焦点22,0,斜率为1的直线l3
与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P-32.1求椭圆G的方程;2求△PAB的面积.解1由已知得c=22,=
222
ca
63
解得a=23,又b=a-c=4所以椭圆G的方程为+=11242设直线l的方程为y=x+m
x2
y2
y=x+m,22由xy+=1124
得4x+6mx+3m-12=0①设A,B的坐标分别为x1,y1,x2,y2x1x2,AB中点为Ex0,y0,则x0=
22
x1+x2
2
3r