几何中线段和，差最值问题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）
是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．几何最值问题中的基本模型举例
B
B
A
A
图形
A
Pl
P
l
MN
l
轴
B
对原理两点之间线段最短两点之间线段最短
三角形三边关系
称
A，B为定点，l为定A，B为定点，l为定直A，B为定点，l为定
最值
特征
直线，P为直线l上的一个动点，求
线，MN为直线l上的一条动线段，求
直线，P为直线l上的一个动点，求APBP
APBP的最小值AMBN的最小值
的最大值
先平移AM或BN使M，
转化
作其中一个定点关于定直线l的对称点
N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的
作其中一个定点关于定直线l的对称点
对称点
A
折图形
BM
叠
最
BN
C
值原理两点之间线段最短
特征
在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B，连接AB，求AB的最小值．
转化转化成求ABBNNC的最小值
f一般处理方法：
线段和周长最小
平移对称旋转
线段差最大
平移对称旋转
使点在线异侧
（如下图）
使点在线同侧
（如下图）
线段最大（小）值
转化构造三角形
使目标线段与定长线段构成三角形
两点之间，线段最短垂线段最短
三角形三边关系定理三点共线时取得最值
常用定理：
两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）
AP
B
A
PAPB最小，l需转化，使点在线异侧
B
PAPB最大，
B
需转化，使点在线同侧
Pl
B
二、典型题型
1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB45°，
OP32，则△PMN的周长的最小值为
6．
2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a7
．
4
f3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM4，点B到直线的距
离BN1，且MN4，P为直线上的动点，PAPB的最大值为5
．
A
B′D
M
NP
B
4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB3，AD5．如图所示，折叠纸片，使
点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点
P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边
上可移动r