二○○二年全国高中数学联合竞赛
试题参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分的0分两档，填空题只设9分和0分两档，其它各
题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次
评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、函数fxlog1x22x3的单调递增区间是
2
A∞，1
B∞，1
C1，∞
D3，∞
解：由x22x30x1或x3，令fxlog1uux22x3，故选A
2
2、若实数xy满足x52y122142，则x2y2的最小值为
A2
B1
C3
D2
解：B
3、函数fxxx12x2
A是偶函数但不是奇函数C既是奇函数又是偶函数解：A
B是奇函数但不是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数
4、直线xy1椭圆x2y21相交于A，B两点，该圆上点P，使得PAB面积等于3，这样的点
43
169
P共有
A1个
B2个
C3个
D4个
解：设P14cos3si
0，即点P1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P1AOB的面积S。2
SSOAP1

SOBP1

143si
2

134cos6si
cos62
2si
4
∴Smax62
∵SOAB6
∴SP1ABmax626
yB
O
P1Ax
∵6263
∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选B5、已知两个实数集合Aa1a2…a100与Bb1b2…b50，若从A到B的映射f使得B中的每一个
元素都有原象，且fa1≤fa2≤…≤fa100，则这样的映射共有
A
C50100
B
C5090
C
C49100
D
C4999
解：不妨设b1b2…b50，将A中元素a1a2…a100按顺序分为非空的50组，定义映射f：A→B，使得
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f第i组的元素在f之下的象都是bii12…50，易知这样的f满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f的个数与A按足码顺序分为50组的分法数相等，而A的分
法数为
C
4999
，则这样的映射共有
C
4999
，故选
D。
6、由曲线x24yx24yx4x4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1，满足x2y2≤16x2y22≥4x2y22≥4的点xy组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则
1
AV1V2
2
2
BV1V2
3
CV1V2
DV12V2
解：如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在
y
两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴
4y
垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离
4
为y，则所得截面r