第十九单元
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考点一极坐标与参数方程
12017年全国Ⅰ卷在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为1若a1求C与l的交点坐标2若C上的点到l距离的最大值为求aθ为参数直线l的参数方程为t为参数

【解析】1曲线C的普通方程为y21当a1时直线l的普通方程为x4y30由
解得
或
从而C与l的交点坐标为30


2直线l的普通方程为x4ya40故C上的点3cosθsi
θ到l的距离d当a≥4时d的最大值为由题设得



所以a8

当a4时d的最大值为由题设得



所以a16
综上a8或a1622017年全国Ⅱ卷在直角坐标系xOy中以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C1的极坐标方程为ρcos
θ4
1M为曲线C1上的动点点P在线段OM上且满足OMOP16求点P的轨迹C2的直角坐标方程2设点A的极坐标为点B在曲线C2上求△OAB面积的最大值
【解析】1设点P的极坐标为ρθρ0点M的极坐标为ρ1θρ10由题设知OPρOMρ1

由OMOP16得C2的极坐标方程为ρ4cosθρ0因此C2的直角坐标方程为x22y24x≠02设点B的极坐标为ρBαρB0由题设知OA2ρB4cosα于是△OAB的面积
fSOAρBsi
∠AOB4cosα2
≤2


t为参数直线l2的参数方程为m为参
当α时S取得最大值2所以△OAB面积的最大值为2
32017年全国Ⅲ卷在直角坐标系xOy中直线l1的参数方程为数设l1与l2的交点为P当k变化时P的轨迹为曲线C1写出C的普通方程
2以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系设l3ρcosθsi
θ【解析】1消去参数t得l1的普通方程为ykx2消去参数m得l2的普通方程为yx2设Pxy由题设得消去k得x2y24y≠0所以C的普通方程为x2y24y≠02C的极坐标方程为ρ2cos2θsi
2θ40θ2πθ≠π联立得
0M为l3与C的交点求M的极径
cosθsi
θ2cosθsi
θ故ta
θ从而cos2θsi
2θ代入ρ2cos2θsi
2θ4得ρ25所以交点M的极径为

t为参数a0在以坐标原点为极点x轴正半轴为
42016年全国Ⅰ卷在直角坐标系xOy中曲线C1的参数方程为极轴的极坐标系中曲线C2ρ4cosθ1说明C1是哪一种曲线并将C1的方程化为极坐标方程
2直线C3的极坐标方程为θα0其中α0满足ta
α02若曲线C1与C2的公共点都在C3上求a【解析】1消去参数t得到C1的普通方程为x2y12a2则C1是以01为圆心a为半径的圆将xρcosθyρsi
θ代入C1的普通方程中得到C1的极坐标方程为ρ22ρsi
θ1a20r