基础过关
第2课时双曲线
典型例题
例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高55m选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）解：如图817，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合这时
上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且CC13×2m，BB25×2m设双曲线的
方程为x2y21（a0b0）令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）a2b2
因为点B、C在双曲线上，所以252
y552
1
132

y2
1
122
b2
122b2
252y552
解方程组
122132
122
y2
b2
b21
1
1由方程（2）得y5b（负值舍去）代入方程（1）12
2
得
252
5b12
552
1化简得
19b2275b－181500
122
b2
（3）
解方程（3）得b≈25m所以所求双曲线方程为：x2y21144625
例3ABC中，固定底边BC，让顶点A移动，已知BC4，且si
Csi
B1si
A，求顶点A
2
的轨迹方程．解：取BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，因为BC4，所以B20，
c20．利用正弦定理，从条件得cb142，即ABAC2．由双曲线定义知，点A的轨
2
迹是B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为23的双曲线右支，点1，0除外，即轨迹方程为x2y21x1．
3
f变式训练3：已知双曲线x2a2

y2b2
1a
0b
0的一条渐近线方程为y
3x，两条准线
的距离为l
（1）求双曲线的方程；
（2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且
直线PM，PN的斜率均存在，求kPMkPN的值
b

a

3
2a2
（1）解：依题意有：

c
1
a2b2c2

解得a21b23
可得双曲线方程为x2y213
（2）解：设Mx0y0由双曲线的对称性可得Nx0y0
设PxPyP
则kPM
kPN

yPxP
y0x0

yPxP
y0x0

y
2P
x
2P

y
20

x02
又x02

y023
1
所以y
20
3x02
3
同理y
2P

3x
2P
3
所以kPM
kPN

3xP2
33x02
x
2P

x02
3
3
例4设双曲线C：x2y21的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线2
C交于不同的两点P、Q。
（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且A1PA2Q1，求点T的坐标；
（2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹r