2003年全国高中数学联合竞赛试题
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列这个新数列的第
2003项是（）
A．2046
B．2047
C．2048
D．2049
2、设a，b∈R，ab≠0，那么，直线ax－y＋b0和曲线bx2＋ay2ab的图形是（）
3、过抛物线y28（x＋2）的焦点F作倾斜角为60°的直线若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点则线段PF的长等于
A．163
B．83
C．1633
D．83
4、若x5，则yta
x2ta
xcosx的最大值是（）
123
3
6
6
A．1225
B．1126
C．1136
D．1235
5、已知x、y
都在区间（－2，2）内，且
xy－1，则函数u

44x2

9
9y
2
的最小值是（
）
A．85
B．2411
C．127
D．125
6、在四面体ABCD中，设AB1，CD3，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四3
面体ABCD的体积等于（）
A．32
B．12
C．13
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
D．33
7、不等式x3－2x2－4x＋30的解集是__________
8、设F1，F2是椭圆x2y21的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1：PF22：1，则△94
PF1F2的面积等于__________9、已知Axx2－4x＋30，x∈R，Bx21－x＋a≤0，x2－2（a＋7）x＋5≤0，x∈R若AB，
则实数a的取值范围是__________
10、已知
a，b，c，d
均为正整数，且
loga
b

32
logc
d

54
，若
a－c9，b－d__________
11、将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相
切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于__________
12、设M
（十进制）
位纯小数0a1a2a
ai只取0或1（i1，2，…，
－1），a
1，
1
fT
是M
中元素的个数，S
是M
中所有元素的和，则limS
__________
T
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、设3x5，证明不等式2x12x3153x219
214、设A，B，C分别是复数Z0ai，Z11＋bi，Z21＋ci（其中a，b，c都是实数）对应
2的不共线的三点证明：曲线ZZ0cos4t＋2Z1cos2tsi
2t＋Z2si
4t（t∈R）与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点
15、一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OAa，折叠纸片，使圆周上某一点A′刚好与A点重合这样的每一种折法，都留下一条直线折痕当A′取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合
加试一、（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间在弦CD上取一点Q，使∠DAQ∠PBC求证r