十．（本题满分10分）设函数fx在03上连续，在03内可导，且f0f1f23，f31。试证必存在ξ∈03，使f′ξ0。
第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷二参考答案第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷二参考答案中国大学生数学竞赛模拟试卷
一填空题（本题共有5小题，每小题2分，满分10分）（1）lim
1x21x→0si
xta
2x
x

14
x2a2设lim8，则al
2x→∞xa1100100（3）设y2y100101x5x6x3x2101
x111（4）函数Fx∫2dtx0的单调减少区间为0或01t44
（5）∫4πcosxl

π
4
1xdx1x
0
二．（本题满分10分）解：f′x
1x
x1x
1
1x
11x
x1令f′x0，得x1，x21，1
11当0x时，f′x0；当x1时，f′x0；1
1
1
11故x1为fx的极大值点，fx1f1为对应的极大值。1
1
1
1
又f0f10故fx1即为fx在闭区间01上的最大值：

f
1M
11
1


（2）limM
lim
→∞

111e
→∞1
1
x→0x→0


三．（本题满分10分）解：因为limfxlimlim
x→0
l
1ax3ax3limxarcsi
xx→0xarcsi
x
6a
1
3ax11x2
2
lim
x→0
3ax21x211x211x21
x→0
limfxlim
eaxx2ax1eaxx2ax14limxx2x→0x→0xsi
4
aeax2xa4lim2lima2eax22a242xx→0x→0
命limfxlimfx，即6a2a24，解得a1a2，
x→0x→0


当a1时，limfx6f0，故fx在x0点处连续。
x→0
当a2时，limfx12≠f06，故x0为fx的可去间断点。
x→0
x1（四（本题满分10分，每题5分）1）解：当0≤x1时，Fx∫t2dtx3；03
当1≤x≤2时，Fx∫ftdt∫ftdt∫ftdt
001
x
1
x
11x111131t313tt213xx233xx2，03232262130≤x13x因此，Fx133x1x21≤x≤262111113limFxlimx3，limFxlim3xx2，x→1x→13x→13x→1623因此，Fx在x1处r