i
x2cosx2dxdy
DDD
2∫∫si
x2cos
D
π
cosx2si
dxdy2∫∫si
x2dxdy444D
π
π
由于当xy∈D时，12∫∫
D
12
≤si
x2
π
4
≤1所以
12
dxdy≤∫∫si
y2cosx2dxdy≤2∫∫dxdy2从而结论成立。
D
arcta
x0
D
四、（本题满分20分）解：设gx∫故f′x
x0
etdt，
2
g′x
x0
earcta
x
2
11x2
x0
1
于是得，gx在00点处的切线方程为：yx
kkff0kkf′0k由g00得f00故lim
fklim
klim
→∞t→0t→0kk
0

五、（本题满分15分）证明：由于f00，f′x在0c上存在，由L中值定理，证明：证明
ξ1∈0a使得faf0af′ξ1①
同理可知，ξ2∈bab使得fabfbabbf′ξ2af′ξ2②由于函数f′单调下降，且0≤a≤b≤ab≤c故有ξ2ξ1于是得f′ξ2≤f′ξ1由以上①，②两式得：fabfb≤fa即：fab≤fafb六、（本题满分15分）解：
∞
∑
0
1
2
2
∞
12

∞∞111，∑
1
∑1
2
222
0
0
∞1111由cosx∑1x∞x∞得：∑1
2
cos2
22
2
0
0
2

f设sx∑
1x
2
∞

2
x∈11，则∫∫sxdxdx∑x
00
2
∞
x
x
∞
x21x
″x22所以sx1x1x3
2x2∑
1x1x3x∈11
0

∞∞1
2
14141于是由∑
1
得∑cos
2272272
0
0
七（本题15分）解：令r
x2y2
，则
ududrxdu，xdrdxrdr
2ux2d2u1dux2dux2r2dr2rdrr3dr
2uy2d2u1duy2du同理可得y2r2dr2rdrr3drd2u代入原方程化简得ur2dr2
解此二阶常系数非齐次微分方程，得其通解为：u故，函数u的表达式为u其中C1C2为常数。
11七（本题15分）解：要证1≤e≤1，
111即证
αl
1≤1≤
βl
1，即证α≤
≤β，1
l
1
x1l
2x1x2，1111、令fxx∈01，则fx2l
1xxxx1l
21xx2x1l
2x1
α
β
C1cosrC2si
rr22，
C1cosx2y2C2si
x2y2x2y22，
令gxx1l
2x1x2，则
2l
xr