由夹逼原理得lim12ex
→∞
2
2．解：要使函数fx在x0处可导，m应满足以下条件：解
111当x≠0时，对任意自然数m，都存在f′xxmsi
′mxm1si
xm2cos，①xxx
由于lim
x→0
fxf01limxm1si
，要使此极限存在，m应满足m10②x→0x0x
由①，②知fx在x0处的二阶导为
f′xf′0limx→0x0mxm1si
11xm2cosxxlimmxm2si
1xm3cos1x→0xxx
lim
x→0
要使以上极限存在，m应满足m3
③
由②，③知要使fx在x0处的二阶导存在，m的取值范围为：m3。
f3解：令xy20抛物线xy2将区域D分成D1和D2两块，其中
0≤x≤1D1x≤y≤1
0≤x≤1D20≤y≤x
在D1中，xy2y2x而在D2中xy2xy2于是∫∫xy2dxdy∫∫xy2dxdy∫∫xy2dxdy
DD1D2
∫∫y2xdxdy∫∫xy2dxdy
D1D2
∫dx∫y2xdy∫dx∫
0x0
133
1
1
1
x0
xy2dy
333
111111411∫x2xx2dx∫x2x2dx∫xx2dx0300333330
4．解：令x2t则∑解

t
的收敛半径
123

∞
Rtlim
→∞
a
a
1
lim

2
13
13于是原级数的收敛半径R3
→∞
12
3
3

±32
当x±3时，由于lim
≠0故该级数的收敛区域为3
→∞23

二、（本题满分20分）设函数fx在∞∞内具有一阶连续导数，L是上半平面y0内的有向分段光滑曲线，L的起点为ab终点为cd记
I∫1x1y2fxydx2y2fxy1dyyy
L
1）证明曲线积分I与路径L无关；2）当abcd时，求I的值。1）证明：由于证明
11x221yfxyfxy2xyf′xy2yfxy1yyxyy
在上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分I与路径L无关。解由于曲线积分I与路径L无关，故可取路径为：由点ab到点cb再到点cd2）：所以I∫
cad1c21b2fbxdx∫yfcy1dybby2
cdcacc∫bfbxdx∫cfcydyabbdb
f令tbxucy则I由条件abcd，得I
bccdcdcccc∫ftdt∫fudu∫ftdtabbcabdbdb
ccdb
三、本题满分20分）证明：由于D关于yx对称，由对称性可知（
∫∫si
y
D
2
dxdy∫∫si
x2dxdy故∫∫si
y2cosx2dxdy∫∫sr