fafbfafbababa2b2fafbfη由柯西中值定理得η∈ab使得a2b22ηab故，fξfη，得证。2ηfξ
五、（本题满分15分）解：交换积分次序有
∫
x2
0
dt∫
t
x
ftudu∫dt∫ftudu∫du∫ftudt
x
x2
x
u2
0
t
0
0
∫∴lim
x→0

x
2
0
dt∫
t
x
ftudu
x44
∫lim
x→0

x
0
du∫ftudt
u0
2
1e
x44
由洛比达法则得lim
x→0
∫
x2
0
dt∫
t
x
ftudu
x4
4
lim
x→0
∫
x2
0
ftxdtx3
1e
f∫由积分中值定理得lim
x→0
x2
0
dt∫
t
x
ftudu
x44
其中，ξ∈0x
fξxf00fx00ξfy00xox

2
，由二元函数的泰勒公式得：
lim
x→0
1e
x2fξxfξxlimlimx→0x→0x3x
∫∴lim
x→0y
x2
0
dt∫
t
x
ftudu
x44
fx00ξfy00xoxx
fx00ξf00limx→0xfx00ξfx00x2Qfx00xlimfx00x0x→0xx∴lim
x→0
1e
f00ξ∫0∴lim0x→0x
x
x2
dt∫
t
x
ftudu
x44
fy00
六、（本题满分15分）解：记P则I
1e
x
x2y2z22
Q3
y
x2y2z22
R3
z
x2y2z22
3
∫∫PdydzQdzdxRdxdy，
S
PQR0，则曲面积分与积分曲面xyz2222无关。取S1xyzεz≥0，ε是较小的正常数可以保证S1在S的内部，取其上侧为正；将xoy面上位于S1与S的边界曲线之间的部分记为S2，取其上侧为正；设SS1S2所围空间区域为V，记xoy平面上由S1边界所围部分为S3，取其上侧为正；设S1与S3所围半球体区域为V1，则有
除原点外，PQR及其偏导数连续，且有
I
S

S1S2
∫∫
∫∫∫∫PdydzQdzdxRdxdy
S1S2
由高斯公式得
PQRPdydzQdzdxRdxdy∫∫∫dV0xyzVSS1S2
∫∫
S2与S3位于xoy平面上，则有∫∫∫∫PdydzQdzdxRdxdy0
S2S3
∴I∫∫PdydzQdzdxRdxdy∫∫PdydzQdzdxRdxdy
S1S1
f

S1S3
∫∫∫∫PdydzQdzdxRdxdy∫∫
S3
PdydzQdzdxRdxdy
S1S3
S1S3
∫∫
xdydzydzdxzdxdy
x
2
yz
2
322


ε2S∫∫S
1
1
xdydzydzdxzdxdy
3
314πε33∫∫∫3dV32πεV1ε231
七、（本题满分10分）解：令xta
t，则I
∫
π
20
∫
π
20
ta
atdt1πta
r