第三部分
竞赛真题与模拟题及参考答案
第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷一非数学类）第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷一（非数学类）中国大学生数学竞赛模拟试卷
考试形式：考试时间：满分：试卷难度系数：考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分试卷难度系数：055
一、计算题（每小题5分，满分20分）1计算：lim1
→∞
xx2
2
2x≠0x0在x0处的二阶导
1mxsi
2．确定自然数m的取值范围，使函数fxx0数存在。
3计算二重积分∫∫xy2dxdyDxy0≤x≤10≤y≤1
D
4．求级数∑

x2
的收敛区域
123

∞
二、（本题满分10分）设函数fx在∞∞内具有一阶连续导数，L是上半平面y0内的有向分段光滑曲线，L的起点为ab终点为cd记
I∫1x1y2fxydx2y2fxy1dyyy
L
1）证明曲线积分I与路径L无关；2）当abcd时，求I的值。三、（本题满分10分）证明不等式1≤∫∫si
y2cosx2dxdy≤2其中D为正方形
D
区域：0≤x≤10≤y≤1四、（本题满分15分）已知曲线yfx与y∫
arcta
x0
etdt在点00处的切线相
2
k同，求此切线方程，并求lim
f其中k为一非零常数
→∞

五、（本题满分15分）设函数fx定义在0c上，f′x在0c内存在且单调下降，又f00证明：对于0≤a≤b≤ab≤c恒有fab≤fafb
f六、（本题满分15分）设u
f

x2y2

具有二阶连续偏导数，且满足
2u2u1u2ux2y2，试求函数u的解析式。2xxxy
七、（本题满分15分）求出使得下列不等式对所有的自然数
都成立的最大的数α
1及最小的数β：1

α
1≤e≤1

β
。
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二、计算题（每小题15分，满分60分）
xxx
2x
xxx2
121x1解：Q1
12
12
2
2
2x
x24



易知

xxx进行变量代换，令
xm则当
→∞时m→∞1e对12
x
2

xxxlim1xm1x2ex并且m因此有lim1
→∞m→∞x2mm
2
xx2
r