广东工业大学试卷参考答案及评分标准
课程名称高等数学A2。
A

考试时间2011年7月4日
第19周星期一
一、填空题：分×5＝20分）（41234
2
x21

y12

z0
32
9813
50二、选择题：分×5＝20分）（41D2B3C4C5B
三、计算题（每小题8分，共24分）
2218分计算二重积分xydxdy，其中Dxyxy4x0y0。
D
解：

D
xydxdy
0
cossi
dd
3D

20
si
cosd

20
d
3

0
42si
cosd42si
dsi
2
注：1、本题利用极坐标计算时，上下限写错的，得0分；2、上下限写对的，但变换后少，扣4分；3、前面正确后，结果错的，扣2分。
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f2．8分判定级数是条件收敛？解：这是交错级数，令
1l
2

1l
3

1l
4

1l
5
是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还
1l
2

1l
3

1l
4

1l
5



1

1
u

2
1
2


1
1l

显然，u
u
1
34由莱布尼兹定理，级数

limu
0，

1l
2

1l
3


1l
4

1l
5
收敛。………………………………5分1
1l


考虑绝对收敛性：1
2

1
u

1
1l

，由于


2
，而级数
1

是发散的，利用

2
正项级数比较原理，得出级数从而
1l
21l
31l
41l
5
2

发散，

2
l

是条件收敛的。……………………………………8分
38分求表面积为a而体积最大的长方体的体积。解：拉格朗日乘数法：设长方体的三棱长分别为xyz，则问题就是在条件
xyz2xy2yz2zxa0
2
下，求函数Vxyz
x0y0z0
的最大值。因此做拉格朗日函数：
2
Lxyzxyz2xy2yz2zxa
………………………………4分
利用极值之必要条件，得出：
LxLyLzyz2yz0xz2xz0xy2yx0
xzyzxyxz
注意到x0y0z0，得出：
xy


yz

得到：xyz
a6
。由于极值点唯一，实际问题最大值一定存在，故极值点就
是最大值点，最大体积为
636
a
3
。……………………………………………8分
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f4．8分设函数zzxy由xyz4z0r