一、知识梳理
第15讲二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
2
抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴
的交点个数
2
判别式Δ＝b－4ac的符号
2
方程ax＋bx＋c＝0有实根
的个数
2个
Δ0
两个________实根
1个
Δ＝0
两个________实根
没有
Δ0
________实根
二次函数y＝ax2＋bx＋ca≠0的图象特征与a、b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系
字母的符号
图象的特征
a0a
a0
开口向上开口向下
b＝0
对称轴为y轴
b
ab0b与a同号
对称轴在y轴左侧
ab0b与a异号
对称轴在y轴右侧
c＝0
经过原点
c
c0
与y轴正半轴相交
c0
与y轴负半轴相交
b2－4ac
b2－4ac＝0b2－4ac0b2－4ac0
与x轴有惟一交点顶点与x轴有两个不同交点
与x轴没有交点
当x＝1时，y＝a＋b＋c
特殊关系
当x＝－1时，y＝a－b＋c若a＋b＋c0，即x＝1时，y0
若a－b＋c0，即x＝－1时，y0
二次函数图象的平移
f将抛物线y＝ax2＋bx＋ca≠0用配方法化成y＝ax－h2＋ka≠0的形式，而任意抛物线y＝ax－h2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图
二、题型、技巧归纳考点1二次函数与一元二次方程
例1抛物线y＝x2－4x＋m与x轴的一个交点的坐标为1，0，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是________．
技巧归纳：一元二次方程ax2bxc0的两个根为x1x2则抛物线yax2bxc与x轴的交点坐标是x10x20
考点2二次函数的图象的平移例2将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是A．y＝x＋22＋2B．y＝x＋22－2C．y＝x－22＋2D．y＝x－22－2技巧归纳：1．采用由“点”带“形”的方法．图形在平移时，图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离，抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决．2．平移的变化规律可为：1上、下平移：当抛物线y＝ax－h2＋k向上平移mm0个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝ax－h2＋k＋m；当抛物线y＝ax－h2＋k向下平移mm0个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝ax－h2＋k－m2左、右平移：当抛物线y＝ax－h2＋k向左平移
0个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝ax－h＋
2＋k；当抛物线y＝ax－h2＋k向右平移
0个单位后，所得的抛物线的关系
f式为y＝ax－h－
2＋k例3如图把抛物线y＝05x2平移得到抛物线m抛物线m经过点A－60和原点00，它的
顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝05x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．
考点3二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系
例4已知二次r