第十三讲不等式证明选讲
本节主要内容为证明不等式的基本方法比较法；综合法于分析法；放缩法；放缩法；反证法；数学归纳法；数形结合以及运用函数的性质．A类例题例1设r11r21，证明
1121r11r21r1r2
分析：可以把不等式两边相减，通过恒等变形（例如配方，因式分解等），转化为一个能够明确确定正负的代数式．证明：
1r1r21r1r221r11r21121r11r21r1r21r11r21r1r2r1r2r1r22r1r221r11r21r1r2
r1r1r2r2r1r22r1r2r1r22r1r21r11r21r1r2r1r22r1r211r11r21r1r20，
112当且仅当r1r21时等号成1r11r21r1r2
立．说明：要证ab，最基本的方法就是证明ab0，即把不等式两边相减，转化为比较差与0的大小，此法用的频率极高．链接：本题可推广为r1r2r
都不小于1，证明：
111
（注：要用数学归纳法）1r11r21r
1
r1r2r
例2设0x1，a0a1，比较loga1x与loga1x的大小．（1982年全国高考题）分析：显然，要比较的两个数都是正数，把它们相除考察商式与1的大小关系，同样可得出两数的大小关系，即ab为正数
a1abb
解：由于0x1，1x1loga1x0loga1x0，同理
loga1x0，
loga1xloga1xlog1x1xlog1x1xloga1xloga1x
log1x
例3
1log1x1x1，因此loga1xloga1x1x1121）abab，证明ab1339
2）
为任意正整数，证明
1
1

1
1
f1）分析：观察欲证不等式的特点，已知中有ab，结论中有ab，这种结构特点启发我们采用如下方法．
11111，所以a0，同理b0，因此ab0，3333311112abab0abab，又ab，故ab139399
证明：因为a说明：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法．2）分析：从不等式的结构不易发现需要用哪些不等式的性质或事实解决这个问题，因此用分析法．证明：要证
1
1

1r