）
7
双曲线x2a2

y2b2
1（a＞0b＞o）的左右焦点分别为
F1，F2，点P
为双曲线上任意
一点F1PF2

，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2
b2cot2
（同上）
8
双曲线x2a2

y2b2
1（a＞0b＞o）的焦半径公式：F1c0

F2c0
当Mx0y0在右支上时，MF1ex0aMF2ex0a
f当Mx0y0在左支上时，MF1ex0aMF2ex0a（同上）
9设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，
连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF（同上）
10过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、QA1、A2为双曲线实轴上的顶点，
A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF（同上）
11
AB
是双曲线x2a2

y2b2
1（a＞0b＞0）的不平行于对称轴的弦，Mx0y0为
AB
的中点，则KOM
KAB

b2x0a2y0
，即KAB

b2x0a2y0
。（同上）
12
若
P0
x0

y0

在双曲线
x2a2

y2b2
1（a＞0b＞0）内，则被
Po
所平分的中点弦的
方程是
x0xa2

y0yb2

x02a2

y02b2
（同上）
13
若
P0
x0

y0

在双曲线
x2a2

y2b2
1（a＞0b＞0）内，则过
Po
的弦中点的轨迹方
程是x2a2

y2b2

x0xa2

y0yb2
（同上）
1证明
椭圆与双曲线的对偶性质（会推导的经典结论）
椭圆
椭圆x2a2

y2b2
1（a＞b＞o）的两个顶点为A1a0A2a0，与y轴平行的直
线交椭圆于
P1、P2
时
A1P1
与
A2P2
交点的轨迹方程是
x2a2

y2b2
1
f2
过椭圆x2a2
y2b2
1
a＞0
b＞0上任一点Ax0y0任意作两条倾斜角互补的直
线交椭圆于
BC
两点，则直线
BC
有定向且kBC

b2x0a2y0
（常数）
证明
3
若
P
为椭圆x2a2

y2b2
1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点F1
F2是焦点
PF1F2
PF2F1


，则
aa

cc

ta

2
co
t
2

证法1（代数）
证
法
二
（
几
何
）
f4
设椭圆x2a2

y2b2
1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2P（异于长轴端点）为椭圆上
任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2PF1F2F1F2P，则有
si
ce（上条已证）si
si
a
5
若椭圆x2a2

y2b2
1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为
F1、F2，左准线为
L，则当
0
＜e≤21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比
例中项
6
P
为椭圆x2a2

y2b2
1（a＞b＞0）上任一点F1F2为二焦点，A
为椭圆内一定点，
则2aAF2PAPF12aAF1当且仅当AF2P三点共线时，等号成
立
7
椭圆
xx02a2

yy02b2
1与直线
AxByC
0
有公共点的充要条件是
A2a2B2b2Ax0By0C2
8
已知椭r