置于三角形中，只要添加辅助线AC，设法证明△FED∽△CEA即可。证明：连结AC
∵四边形DEAC内接于圆∴∠FDE＝∠CAE，∠FED＝∠DCA
∵直径AB⊥CD，∴∴∠DCA＝∠CEA，∴∠FED＝∠CEA∴△FED∽△CEA
∴
，∴AEEF＝ECED
小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形
之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。
例5已知：如图5，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E。
图5（1）如果CD⊥AB，求证：EN＝NM；（2）如果弦CD交AB于点F，且CD＝AB，求证CE2＝EFED；（3）如果弦CD绕点C旋转，并且与AB的延长线交于点F，且CD＝AB，那么（2）的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

f
证明：（1）连结BM（如图5－1）
图5－1∵AM是直径，∴∠ABM＝90°∵CD⊥AB，∴BM∥CD∴∠ECN＝∠MBN，又AM⊥BC，∴CN＝BN∴Rt△CEN≌Rt△BMN，∴EN＝NM（2）连结BD，BE，AC（如图5－2）
图5－2∵点E是BC垂直平分线AM上一点，∴BE＝EC∵CD＝AB，∴∴∠ACD＝∠BDC，又AB＝AC，AE＝AE∴△ABE≌△ACE，∴∠ABE＝∠ACD＝∠BDC∵∠BED是公共角，∴△BED∽△FEB∴BE2＝EFED，∴CE2＝EFED（3）结论成立。如图5－3
图5－3证明：仿（2）可证△ABE≌△ACE∴BE＝CE，且∠ABE＝∠ACE又∵AB＝CD，∴∴∠ACB＝∠DBC，∴BD∥AC∴∠BDE＋∠ACE＝180°而∠FBE＋∠ABE＝180°∴∠BDE＝∠FBE，而∠BED是公共角∴△BED∽△FEB

f
∴BE2＝EFED，∴CE2＝EFED
（二）直线与圆的关系
1直线与圆的位置关系
直线和圆的位置
相离相切
相交
公共点的个数
0
1
2
公共点名称
无
切点
交点
直线名称
无
切线
割线
圆心到直线的
距离d与半径r的
关系
2切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3切线的性质
（1）圆的切线垂直于经过切点的半径；
（2）推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
（3）推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：①垂直于
切线；②经过切点；③经过圆心。
4切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线
的夹角。
5弦切角定理
（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；
（2）推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；
（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
6和圆有关的比例线段
（1）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点r