AAS）
∴BD＝MN＝2
3、如图，AB为⊙O的直径，点N是半圆的中点，点C为AN上一点，NC＝3
求BC－AC的值
解：如图，连接AN，BN，则△ABN是等腰直角三角形
在BC上截取BD＝AC，连接DN
∵AN＝BN，CAN＝DBN，AC＝BD
∴△ACN≌△BDN（SAS）
∴CN＝DN，CNA＝DNB，
∴CND＝CNA＋AND＝ADN＋DNB＝90，即△CND是等腰直角三角形
∴CD＝2NC＝6，
∴BC－AC＝BC－BD＝CD＝6
第5页
f圆的培优专题训练系列
4、如图，点A、B、C为⊙O上三点，ACBC，点M为BC上一点，CEAM于E，
AE＝5，ME＝3，求BM的长解：如图，在AM上截取AN＝BM，连接CN，CM
∵ACBC，∴AC＝BC，又A＝B
∴△ACN≌△BCM（SAS）
∴CN＝CM，又CEAM
∴NE＝ME＝3，∴BM＝AN＝AE－NE＝2
5、如图，在⊙O中，P为BAC的中点，PDCD，CD交⊙O于A，若AC＝3，AD＝1，
求AB的长
解：如图，连接BP、CP，则BP＝CP，B＝C过点P作PEAB于点E，又PDCD∴BEP＝CDP
∴△BEP≌△CDP（AAS）∴BE＝CD＝31＝4，PE＝PD连接AP，则Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），则AE＝AD＝1∴AB＝AEBE＝5
6、如图，AB是O的直径，MN是弦，AEMN于E，BFMN于F，AB＝10，MN＝8
求BF－AE的值
解：∵AEMN，BFMN，则AE∥BF，∴A＝B
如图，延长EO交BF于点G，
则AOE＝BOG，AO＝BO
∴△AOE≌△BOG（AAS），则OE＝OG
过点O作OHMN，FG＝2OH，HN＝4
连接ON，则ON＝5，OH＝52423，则BG－AE＝FG＝6
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f圆的培优专题训练系列
圆的培优专题4圆与勾股定理
1、如图，⊙O是△BCN的外接圆，弦ACBC，点N是AB的中点，BNC＝60，
求
BNBC
的值
解：如图，连接AB，则AB为直径，∴BNA＝90
连接AN，则BN＝AN，则△ABN是等腰直角三角形
∴BN＝2AB；又BAC＝BNC＝60，2
∴BC＝
3AB，2
∴BBNC
＝
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（方法2，过点B作BDCN，即可求解）
2、如图，⊙O的弦ACBD，且AC＝BD，若AD＝22，求⊙O半径解：如图，作直径AE，连接DE，则ADE＝90
又ACBD，则ADB＋DAC＝ADB＋EDB＝90∴DAC＝EDB，则CDBE，∴DEBC，∵AC＝BD，∴ACCD，则ADBCDE
∴AD＝DE，即△ADE是等腰直角三角形
∴AE＝2AD＝4，即⊙O的半径为23、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为CB延长线上一点，且CAD＝45，
CEAB于点E，DFAB于点F
（1）求证：CE＝EF；（2）若DF＝2，EF＝4，求AC
（1）证：∵AB为⊙O的直径，CAD＝45，
则△ACD是等腰直角三角形，即AC＝DC
又CEAB，则CAE＝ECB
如图，过点C作CG垂直DF的延长线于点G
又CEAB，DFAB，则四边形CEFG是矩形，AEC＝DGC＝90∴EF＝CG，CE∥DG，则ECB＝CDG＝CAE
∴△ACE≌△DCG（AAS），则CEr