2t22t541∴f1198612正比便函数、反比便函数及一次函数例81987年浙江省初中竞赛题已知yy1,其中y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x2和x3时,y的值都为19求y与变量x的函数关系式解设y1k1x,y2k1,k2均不为零,则yy1k1x将x2,x3代入yy1得∴y5x例91986年吉林八市初中数学竞赛题一次函数yaxba≠0有一组对应值xy0试证
fyaxb不能有二组以上的有理数的对应值证明若yaxb存在两组不同的有理数对应值x1,y1,x2,y2,而函数式为yax,故∵a≠0,消去a可得y2y1x1y2x2y1∵x1y2x2y1是有理数∴y2y10,即y1y2,∴x1y1x2y10即x1x2y10若y10,则x1,但这与假设矛盾,故不可能∴y1≠0,从而x1x2也不可能∴yaxb不能有两组以上的有理数的对应值3二次函数关于二次函数我们最关心的是应用二次函数的图象和极值定理解一些应用问题例101987年浙江初中数学竞赛题设二次函数yabx22cxab,其中a,b,c是三角形的三边,且b≥ab≥c已知x这个二次函数有最小值为,求△ABC三内角A、B、C的度数解散由题设,二次函数图象的顶点坐标是(,),即()于是①②由①得ab2c,代入②得(bc)(ba)0∵b≥ab≥cbc0ba0即abc△ABC为正三角形ABC60°例111989年全国初中数学竞赛题如图311△ABC中D、分别是边BC、上的点,EAB且∠1∠2∠3如果△ABC△EBD△ADC的周长依次为mm1m2证明证明由已知可得DE∥AC,进而△EBD∽△ABC∽△DAC①∴②③∴于是有在这里我们是将看成关于的二次函数利用配方法来处理的4其它下面我们再利用配方法来解一个多元函数的最值问题例121978年日本半桥技术科学大学入学题在边长为a的正三角形中设点P、Q、R在边BCCAAB上运动并保持的关系设,△PQR的面积为S1用x、y、z表示S;(2)求S的最大值;(3)求S取最大值时,、的值、解(1)SS△ABCS△AQRS△BRPS△CPQ∵S△ABCa2,S△AQRz(ay)si
60°
fzay同样S△BRPxazS△CPQyax∴Sa2zayxazyaxa2axyzyzyxxya2a2yzyxxyyzyxxy①(2)将zaxy代入①消去z得Saxyxyxyx2yayy2ay∴S≤当x时,上式取等号,即xyz时,Smaxa2,(3)根据(2),当S取最大值时,xyz在△CPQ内,CQ,CP由余弦定理得最后,我们把视线转向分段函数的极值问题例13(1968~1969年波兰竞赛题)已知两两互异的实数a1,a2,…,a
求由式子(x为实数)yxa1xa2…xa
所定义的函数的最小值解我们首先研究一个简单的r