竞赛讲座27－函数
1函数的基本概念一个函数由它的自变量允许取值的范围即定义域和对应关系所确定，并由此确定了函数值的变化范围即值域定义域、对应关系、值域称为函数的三要素1求函数的定义域例11982年西安初中竞赛题已知函数求自变量取值范围解2＜x＜1，或1＜x＜0，或0＜x＜2，或2＜x≤3或者写成2＜x≤3，且x≠0，2例21982年大连海运学院研究生招考题设函数yfx的定义域为［0，1］，试求fxafxa的定义域a＞0解由若0＜a＜时x∈a1a若a＞时函数关系不存在2关于对应法则若把自变量比作将要加工的原料，那么对应法则f就是加工手段和规则正确认识对应法则是深刻理解函数概念的一个重要方面例3美国34届中学生邀请赛题设f是一个多项式，对所有实数x，fx21x45x23对所有实数x，求fx21分析若能找到函数的对应法则f，即自变量是怎样“加工处理”的，此题易解，下面给出两种解法①配凑法：fx21x45x23x2123x211，∴fxx23x1，∴fx21x2123x211x4x23②换元法令x21t，则x2t1由fx21x45x23有ftt125t11t23t1∴fx21x2123x211x4x23例41984年上海青少年数学爱好者协会招生试题设函数fx2xax2bxc满足等式fx1fx2xx2，求abc的值解待定系数法fx2xax2bxc，fx12x1［ax12bx1c］22x［ax2bxc2axab］2fx22x2axab由fx1fx2xx2有2xax2bxc22x［2axab］2xx2，在上式中，
f令x0得2a2bc0；①令x1得7a3bc0；②令x2得14a4bc0③由①，②，③解出a1，b4，c6，∴abc33关于函数方程这个问题是前一个问题的继续，我们把含有未知函数的等式叫函数方程，把寻求未知数的过程，或证明函数方程无解叫解函数方程例5对于一切实数x，y，函数满足fxyfxfy，且f0≠0求f1987和f1988解∵fxyfxfy，取y0，得fx0fxf0f0fxf0又f0≠0，∴fx1，∴f1987f19881例6第32届美国中学生数学竞赛题函数fx在x0处没有定义，但对所有非零实数x有fx2f3x满足方程fxfx的实数A恰有一个B恰有两个C不存在D有无穷多个，但并非一切非零实数E是一非零实数解fx2f3x①以换x得f2fx②由①，②两式消去f得3fx3x，∴fxx③又由fxfx，将③代入得xx，即2x0，2x20，∴x±故应选B4求函数值例71986年北京高一竞赛题fx2x52x453x357x541986，求f［1］解设则2t1即2t22t55∴2t52t453t357t54t32t22t53t357t542t32t22t257t5455t2t257t54r