第6课时
几何综合二
1．如图，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cms；点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cms，设它们运动的时间为xs．1当x为何值时，PQ⊥AC？x为何值时，PQ⊥AB2设△PQD的面积为ycm2，当0x2时，求y与x的函数关系式；3当0x2时，求证：AD平分△PQD的面积．
解：1当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC当Q在AC上时，由题意，得BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x∵AB＝BC＝CA＝4，∴△ABC为等边三角形，∠C＝60°若PQ⊥AC，则有∠QPC＝30°，4∴PC＝2CQ∴4－x＝2×2x，解得x＝54故x＝Q在AC上时，PQ⊥AC51当Q在AC上时，显然PQ不垂直于AB当Q在AB上时，若PQ⊥AB，则BP＝x，BQ＝x，AC＋AQ＝2x2∵AC＝4，∴AQ＝2x－4116∴2x－4＋x＝4，解得x＝2516故x＝时Q在AB上，PQ⊥AB52当0x2时，点P在BD上，点Q在AC上，过点Q作QH⊥BC于点H∵∠C＝60°，QC＝2x，∴QH＝QCsi
60°＝3x1∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝22∴DP＝2－x113∴y＝PDQH＝2－x3x＝－x2＋3x2223证明：当0x2时，在Rt△QHC中，QC＝2x，∠C＝60°，∴HC＝x∴BP＝HC∵BD＝CD，∴DP＝DH∵AD⊥BC，QH⊥BC，∴AD∥QH∴OP＝OQ∴S△PDO＝S△DQO∴AD平分△PQD的面积．2．2016保定模拟已知，如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8；O为BC延长线上一点，CO＝3；过点O，A作直线l，将l绕点O逆时针旋转，l与AB交于点D，与AC交于点E，当l与OB重合时，停止旋转；过点D作DM⊥AE于点M，设AD＝x，S△ADE＝S探究1
f用含x的代数式表示DM，AM的长；探究2当直线l过AC中点时，求x的值；探究3用含x的代数式表示AE的长；发现求S与x之间的函数关系式；探究4当x为多少时，DO⊥AB
解：探究1：在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8，∴由勾股定理，得AB＝BC2＋AC2＝10∵∠AMD＝∠ACB＝90°，∠DAM＝∠BAC，∴△ADM∽△ABC∴即ADDMAM＝＝，ABBCACxDMAM＝＝1068
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34∴DM＝x，AM＝x55
4探究2：若E为AC的中点，则CE＝AE＝4，ME＝AE－AM＝4－x5∵∠ACB＝90°，DM⊥AE，∴MD∥BC∴△DME∽△OCE∴DMME＝OCCE
34x4－x55∴＝345解得x＝24探究3：设AE＝y，则CE＝8－y，ME＝y－x5DMME由探究2知：＝OCCE34xy－x55∴＝38－y∴y＝12x12x，即AE＝x＋5x＋5
12x3发现：∵AE＝，DM＝x，5x＋5
f1112x3∴S△ADE＝AEDM＝x22x＋5518x2∴S＝5x＋25探究4：∵DO⊥AB，∴∠ADE＝90°∵∠ADEr