2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）1．设方程x2mxm10的根大于2，且小于4，则实数m的范围是
22
．
2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为
．
3．设实数x，y满足x24xy30，则x2y2的最大值与最小值之差是
．
4．若存在正实数a，b满足abi
abi
（i是虚数单位，
N），则
的最小值

是
．．
5．若三角形ABC的三边AB，BC，AC成等差数列，则A的取值范围是

6．若数列a
满足a49，a
1a
1a
13a
0（
N），则满足条件的a1的所有可能值之积是．
60
7．已知fxx94x2013，则
2

30
f

f

．
s8．设x，y02，且满足2si
xcoy
为．
six

1coys，则xy的最大值2
9．已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是面ABC上的一个动点，满足P到面DAB、DBC、DCA的距离成等差数列，则P到面DCA距离的最大值是．10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是．
f二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．设k为实数，0k6，椭圆E1
xk2x2y21与椭圆E2y21交于点A和99
C，E1的左顶点为B，E2的右顶点为D（如图），若四边形ABCD是正方形，求实
数k．
f12．如图，梯形ABCD中，B、D关于对角线AC对称的点分别是B、D，A、C关于对角线BD对称的点分别是A、C．证明：四边形ABCD是梯形．
f13．设实数a，b满足0a
1b1．证明：2bacosacosb．2
14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．
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