极线的运算法则
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f《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果
1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：lim
b0ab为常数且a0；lim3x15；x2
a

0，当q1时limq
；等等
当q1时不存在，
（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2．极限运算法则定理1已知limfx，limgx都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）limfxgxAB（2）limfxgxAB（3）lim
fxA此时需B0成立gxB
说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3．两个重要极限（1）
lim
si
x1x0x
1x
（2）
lim1xe
x0
；
lim11xexx
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，
作者简介：靳一东，男，（1964），副教授。
fsi
3x31，lim12x2xe，lim13e；等等。例如：limxxx0x03x
4．等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
1
x
x～si
x～ta
x～arcsi

x～arcta
x～l
1x～ex1
。
说明：当上面每个函数中的自变量x换成gx时（gx0），仍有上面的等价
关系成立，例如：当x0时，
定理4如果函数
e3x1
～
3x
1x；l

2

～
x2。
fxgxf1xg1x都是xx0时的无穷小，且fx～
xx0
f1x，gx～g1x，则当lim
fxlim
xx0
f1xfx存在时，lim也存在且等于xx0gxg1x
f1xf1xfx，即limlim。xx0gxxx0gxg1x1
5．洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数fx和gx满足：（1）r