｜cosθ
叫做
a
与
b
的数量积（或内积），
记作
a

b
，即
a

b
＝｜
a
｜｜
b
｜cosθ
，
其中
θ
是
a
与
b
的夹角。
2．规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0a＝0
注意：
（1）符号“”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”代替。
（2）
是
a
与
b
的夹角，范围是
0≤θ≤π，（再找两向量夹角时，若两向量起点不同，必
须通过平移，把起点移到同一点，再找夹角）。
（3）两个向量的数量积是一个数量，而不是向量。而且这个数量的大小与两个向量的
模及其夹角有关。
（4）两非零向量
a
与b
的数量积
a

b
的符号由夹角
θ
决定：
0

cosθ

a

b
0
2


cosθab
0
2



cosθ
a

b
0
2
前面我们学习了向量的加法、减法及数乘运算，他们都有明确的几何意义，那么向量的数量积的几何意义是什么呢？
二、数量积的几何意义
1．“投影”的概念：已知两个非零向量
a
与
b
，θ
是
a
与
b
的夹角，
b
cos
叫做向量
b
在
a
方
向上的投影新疆王新敞奎屯
思考：投影是向量，还是数量？根据投影的定义，投影当然算数量，可能为正，可能为负，还可能为0
为锐角
为钝角
为直角
fbcos0
bcos0
bcos0
当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当0时投影


为
b；当180时投影为
b新疆王新敞
奎屯
思考：
a
在
b
方向上的投影是什么，并作图表示
2．数量积的几何意义：数量积
a

b
等于
a
的长度｜
a
｜与
b
在
a
方向上投影
b
cos的乘积，
也等于
b
的长度
b
与
a
在
b
方向上的投影｜
a
｜cos的乘积。
根据数量积的定义，可以推出一些结论，我们把它们作为数量积的重要性质
三、数量积的重要性质
设
a
与
b
都是非零向量，θ
是
a
与
b
的夹角
（1）
a

b

ab
0
（2）当
a
与
b
同向时，
a

b


a

b
；
当
a
与
b
反向时，
a

b


a

b
；
特别地，
a

a


a
2，
a
aa
（3）cosabab
（4）
a

b

≤
ab
运算律与运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看看它满足怎样的运算律
四、向量数量积的运算律
已知
a
，
b
，
c
和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
（1）
a

b
＝b

a
交换律
（2）λ
a


b
＝λ

a

b
＝
a

λb
数乘结合律
（3）
a
＋b


c
＝
a

c
＋
b

c
分配律
思考：
a

b

c
＝
a
bc
是r