角坐标平面内xy轴方向上的单位向量，若向量axiy2jbxiy2j，且ab8。⑴求点Mxy的轨迹C的方程；⑵过点03作直线l与曲线C交于A、B两点，设OPOAOB。是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由。
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f1、12、4
参考答案
3、y3x4
4、8
5、y212x或y24x6、6
57、5x3y1308、以F，O为焦点的椭圆
9、2mR
R
10、bc11、25
5
12、x2y21y010075
13、±1
14、53
yx1，
15解（1）设A、B两点的坐标分别为Ax1y1Bx2y2则由x2a2

y2b2
1
得
a2b2x22a2xa2a2b20
根据韦达定理，得
x1

x2

2a2a2b2
y1

y2

x1

x22

2b2a2b2

∴线段AB的中点坐标为（a2b2）a2b2a2b2
由已知得a2a2b2

2b2a2b2
0a22b22a2c2a22c2
故椭圆的离心率为e22
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f（2）由（1）知bc从而椭圆的右焦点坐标为Fb0设Fb0关于直线lx2y0的
对称点为
x0

y0

则
y0x0

0b

12
1且x0b22
y02
0
解得
x0

35
b且y0

4b5
由已知得
x02

y02

43b25
4b25

4b2

4
故所求的椭圆方程为x2y2184
16解1axiy2jbxiy2j且ab8
点Mxy到两个定点F102F202的距离之和为8
轨迹C为以F1

F2为焦点的椭圆
方程为x212

y216
1
2假设存在满足条件的直线l使得四边形OAPB是矩形
l过y轴上的点03若直线l是y轴则AB两点是椭圆的顶点
OPOAOB0P与O重合这与四边形OAPB是矩形矛盾
故直线的斜率存在设l方程为ykx3Ax1y1Bx2y2
ykx3
由x212

y216
消去y得43k2x21
18kx
21
0
此时18k2443k2210恒成立
且x1

x2


18k43k2
x1x2


2143k2

OPOAOB四边形OAPB是平行四边形
又若四边形OAPB是矩形则OAOB即OAOBx1x2y1y20即1k2x1x23kx1x290
也即1k2213k18k90即k25解得k5
43k2
43k2
16
4
存在直线ly5x3使得四边形OAPB是矩形4
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