AcosA＝si
BcosB，∴si
2A＝si
2B在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．方法二由正弦定理、余弦定理，得a2b×b2＋2cb2c－a2＝b2a×a2＋2ca2c－b2，∴a2b2＋c2－a2＝b2a2＋c2－b2，∴a2－b2a2＋b2－c2＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0即a＝b或a2＋b2＝c2∴△ABC为等腰三角形或直角三角形命题角度2三角形边、角、面积的求解例3△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csi
B1求B；2若b＝2，求△ABC的面积的最大值．解1由正弦定理a＝2Rsi
A，b＝2Rsi
B，c＝2Rsi
C
3
f得2Rsi
A＝2Rsi
BcosC＋2Rsi
Csi
B即si
A＝si
BcosC＋si
Csi
B又A＝π－B＋C，∴si
π－B＋C＝si
B＋C＝si
BcosC＋si
Csi
B，即si
BcosC＋cosBsi
C＝si
BcosC＋si
Csi
B，∴cosBsi
C＝si
Csi
B∵si
C≠0，∴cosB＝si
B且B为三角形内角，
∴B＝π4
2S△ABC＝12acsi
B＝42ac，
由正弦定理，a＝bssii

AB＝
2×si
2
A＝2
2si
A，
2
同理，c＝22si
C，
∴S△ABC＝42×22si
A×22si
C
＝22si
Asi
C
＝22si
Asi
34π－A
＝2
2si

Asi
34π
cos
A－cos
34π
si

A
＝2si
AcosA＋si
2A
＝si
2A＋1－cos2A
＝2si
2A－π4＋1∴当2A－π4＝π2，即A＝3π8时，
S△ABC有最大值2＋1
反思与感悟该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，在通
过定理进行边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．
跟踪训练2
在△ABC
中，a，b，c
分别是三个内角A，B，C
的对边，若
a＝2，C＝π4
，cos
B2
4
f＝255，求△ABC的面积S
解因为cosB＝2cos2B2－1＝35，
故B为锐角，所以si
B＝45，
所以si
A＝si
π－B－C＝si
3π4－B
＝si

3π4
cos
B－cos
3π4
si

B＝7102
由正弦定理，得c＝assii
AC＝170，
所以S△ABC＝12acsi
B＝12×2×170×45＝87
类型三正弦、余弦定理在实际中的应用
例4某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、
B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，
∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚127秒．在A地测得该仪器弹至最高点H
时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH声音的传播速度为340米秒
解由题意，设AC＝x，则BC＝x－127×340＝x－40在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝BA2＋AC2－2×BA×AC×cos∠BAC，即x－402＝10000＋x2－100x，解得x＝420在Rt△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，所以CH＝AC×ta
∠CAH＝1403答该仪器的r