第一章解三角形
学习目标1整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识2能灵活、熟练运用正弦、余弦定理解三角形．3．能解决三角形与三角变换的综合问题及实际问题
知识点一正弦定理及其推论
设△ABC的外接圆半径为R，则
a1si

bA＝si

cB＝si

C＝2R
2a＝2Rsi
_A，b＝2Rsi
_B，c＝2Rsi
_C
3si
A＝2aR，si
B＝2bR，si
C＝2cR
4在△ABC中，ABabsi
_Asi
_B
知识点二余弦定理及其推论
1．a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C
2．cosA＝b2＋2cb2c－a2；cosB＝c2＋2ac2a－b2；cosC＝a2＋2ba2b－c2
3．在△ABC中，c2＝a2＋b2C为直角；c2a2＋b2C为钝角；c2a2＋b2C为锐角．
知识点三三角形面积公式
1．S＝12aha＝12bhb＝12chc；
2．S＝12absi
C＝12bcsi
A＝12casi
B
类型一利用正弦、余弦定理解三角形例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度．
解在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝23，由余弦定理，得cosC＝BC22＋BCA×C2－ACAB2＝23，
1
f∴si
C＝12
在△ADC中，由正弦定理，
AD
AC
得si
C＝si
∠ADC，
∴AD＝
212×2＝
2
2
反思与感悟解三角形的一般方法：
1已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b2已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求
较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．3已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．
4已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C
跟踪训练1如图，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝17
1求si
∠BAD；
2求BD，AC的长．
解1在△ADC中，因为cos∠ADC＝17，
所以si
∠ADC＝473所以si
∠BAD＝si
∠ADC－∠B＝si
∠ADCcosB－cos∠ADCsi
B
＝473×12－17×23＝3143
2在△ABD中，由正弦定理，得
33
BD＝AsBis
i∠
∠ADBBAD＝8×4
143
＝3
7
2
f在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cosB＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC＝7类型二三角变换与解三角形的综合问题命题角度1三角形形状的判断例2在△ABC中，若a2＋b2si
A－B＝a2－b2si
A＋B，试判断△ABC的形状．解∵a2＋b2si
A－B＝a2－b2si
A＋B，∴b2si
A＋B＋si
A－B＝a2si
A＋B－si
A－B，∴2b2si
AcosB＝2a2cosAsi
B，即a2cosAsi
B＝b2si
AcosB方法一由正弦定理知a＝2Rsi
A，b＝2Rsi
B，∴si
2AcosAsi
B＝si
2Bsi
AcosB，又si
Asi
B≠0，∴si
r