xm代入椭圆方程4x2y21得4x2xm21，
即5x22mxm210．2m245m2116m2200，解得5m5．
2
2
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为
x1，
x2，由（1）得
x1

x2


2m5
，
x1x2

m215
．
根据弦长公式得
：
112

2m
2

4
m2
1

2
10．解得m0．方程为yx．
5
5
5
说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．
用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
例9以椭圆x2y21的焦点为焦点，过直线l：xy90上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，123
点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．
分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．
解：如图所示，椭圆x212

y23
1的焦点为F13，0，F23，0．
点F1关于直线l：xy90的对称点F的坐标为（－9，6），直线FF2的方程为x2y30．
f解方程组
xx

2y
y3090
得交点
M
的坐标为（－5，4）．此时
MF1

MF2
最小．
所求椭圆的长轴：2aMF1MF2FF265，∴a35，又c3，
∴b2a2c23523236．因此，所求椭圆的方程为x2y21．4536
例10已知方程x2y21表示椭圆，求k的取值范围．k53k
k50解：由3k0得3k5，且k4．
k53k
∴满足条件的k的取值范围是3k5，且k4．
说明：本题易出现如下错解：由
k3

5k

00
得
3

k

5，故
k
的取值范围是
3

k

5．
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中ab0这个条件，当ab时，并不表示椭圆．
例11已知x2si
y2cos10表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围．
分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围．
解：方程可化为
x21

y21
1．因为焦点在y轴上，所以110．cossi

si
cos
因此si
0且ta
1从而3．24
说明：1由椭圆的标准方程知10，10，这是容易忽视的地方．
si

cos
2由焦点在y轴上，知a21，b21．3求的取值范围时，应注意题目中的条件0．
cos
si

例12求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A32和B231两点的椭圆方程．
分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，
可设其方程为mx2r