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,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,点E为棱AB的中点.求:(1)D1E与面DBC1所成角的正弦值;(2)点D1到面DBC1的距离.解:(1)以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D1002E210,ED1212
DB220DC1022,设面DBC1的一个法向量为
DB2x2y0
xyz,则,取
111
DC12y2z0
cosED1
ED1
ED1


21233

39
f
∴D1E与面DBC1所成角的正弦值为(2)D1C1020
39
4分
∴d
D1C1


23

233233
∴点D1到面DBC1的距离为
8分
21如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.1)当点E为AB中点时,求二面角D1-EC-D的正切值2探究当AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为解:(1)连接DE,∵E是AB的中点,AD=AA1=1,AB=2,∴DEEC
π.4
2,DC2
DE2EC2DC2,DE⊥EC,又在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
DD1⊥面ABCD,∴D1E⊥EC,∴∠D1EC是二面角D1-EC-D的平面角
ta
∠D1EC
D1D122所以二面角D1-EC-D的正切值为DE222
4分
2在底面ABCD内作DH⊥EC连接D1H则∠D1HD就是二面角D1-EC-D的平面角
∴∠D1HD
π
4
∴DH1∵DC2∴∠DCE
π
6
∠BCE
π
3
∴BE3AE23
∴当AE23时,二面角D1-EC-D的大小为
π.4
8分
2方法二以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,则A11,0,1,D10,0,1,E1,x,0,A1,0,0,C0,2,0.
f
22.如图6,在三棱锥PABC中,AB⊥BC,ABBCkPA,点O,D分别是AC,PC的中点,
OP⊥底面ABC.
(1)求证:OD∥平面PAB;(2)当k1时,求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;3探究当k为何值时直线PA与平面PBC所成角的正弦值为解:1∵点O,D分别是AC,PC的中点,∴ODPA∵OD面PAB而PA面PAB
37
f
(2)方法二:∵OP⊥平面ABC,OAOC,ABBC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.以O为原点,建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.∵k1设AB0),P(0,0,1)
2,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,
0,
∴PA101CB110BP011
设可求得平面PBC的法向量
111.PA与平面PBC所成为θ则si
θcosPA
的角
6363
6分
∴PA与平面PBC所成的角的正弦值为
3设AB
2则P00
2221BP0121AP10212kkk2212112kk
可r
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