，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点．求：（1）D1E与面DBC1所成角的正弦值；（2）点D1到面DBC1的距离．解：（1）以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D1002E210，ED1212
DB220DC1022，设面DBC1的一个法向量为
DB2x2y0
xyz，则，取
111
DC12y2z0
cosED1
ED1
ED1


21233

39
f
∴D1E与面DBC1所成角的正弦值为（2）D1C1020
39
4分
∴d
D1C1


23

233233
∴点D1到面DBC1的距离为
8分
21如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．1）当点E为AB中点时，求二面角D1－EC－D的正切值2探究当AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为解：（1）连接DE，∵E是AB的中点，AD＝AA1＝1，AB＝2，∴DEEC
π．4
2，DC2
DE2EC2DC2，DE⊥EC，又在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
DD1⊥面ABCD，∴D1E⊥EC，∴∠D1EC是二面角D1－EC－D的平面角
ta
∠D1EC
D1D122所以二面角D1－EC－D的正切值为DE222
4分
2在底面ABCD内作DH⊥EC连接D1H则∠D1HD就是二面角D1－EC－D的平面角
∴∠D1HD
π
4
∴DH1∵DC2∴∠DCE
π
6
∠BCE
π
3
∴BE3AE23
∴当AE23时，二面角D1－EC－D的大小为
π．4
8分
2方法二以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE＝x，则A11，0，1，D10，0，1，E1，x，0，A1，0，0，C0，2，0．
f
22．如图6，在三棱锥PABC中，AB⊥BC，ABBCkPA，点O，D分别是AC，PC的中点，
OP⊥底面ABC．
（1）求证：OD∥平面PAB；（2）当k1时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；3探究当k为何值时直线PA与平面PBC所成角的正弦值为解：1∵点O，D分别是AC，PC的中点，∴ODPA∵OD面PAB而PA面PAB
37
f
（2）方法二：∵OP⊥平面ABC，OAOC，ABBC，∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．∵k1设AB0），P（0，0，1）
2，则A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，
0，
∴PA101CB110BP011
设可求得平面PBC的法向量
111．PA与平面PBC所成为θ则si
θcosPA
的角
6363
6分
∴PA与平面PBC所成的角的正弦值为
3设AB
2则P00
2221BP0121AP10212kkk2212112kk
可r