11


2
1
1

2
1
1
1
22
2

33
2



2
121
12

12

13

1
1

1

3
1

3
五．
两项配凑放缩型
12
13121


例1．已知x
2
，求证：1x112x21
x
1
N
证明：1
x
1
2
13

不妨考虑
为奇数时，1
x
1
1x
1

1213
2
1
1

13

f2
2
12
2
111
1
11122222
2
133
于是
为偶数时，1x112x21
x
为奇数时，前
1项为偶数项，
12

12
2

12

1
12

1
于是有1x112x21
x
11
x
1x
12
12

13
1

12
1a4
13

1得证。
例2．已知a
2
21
1
N，证明：对任意的整数m4，有
3
2
1a5

1am

78
证明：由通项公式得a42，当
3且
为奇数时，
2
12
22
2
3
1a


1a
1

3
22
21

1

12
11

32

2
12
222
32
12
21

2
3

3
1
2
22

12
1
1

1a51am1a41a51a61am11am
当m4且m为偶数时，
12
a4







3111131113734m21m422224288222
1a41a41a51a51am1am
1a41a51am1am178
当m4且m为奇数时，

综上对任意整数m4有



78
。
评析：由于通项中涉及有1
这一符号法则，因此结合两项之和将其消去，再行放缩便能易于求和使问题得证。六．利用题设结论例1已知不等式
12131
12log2
N
2log2
表示不超过log2
的最大整
a
1
a
1
2
数。设正数数列a
满足：a1bb0a
求证a
2b2blog2
3
简析当
2时a
1a
1a
11

a
1
a
1

1a


a
1a
1

1a
1

1

，即


k2



1ak

1ak1


k2


1k

f于是当
3时有111log2
a
a
a12
2b2blog2


I用数学归纳法证明a
2
2；II对
2
2l
1xx对x0都成立，证明a
e（无理数e271828）
例2
已知a11a
11
1
2
a

1
II结合第I问结论及所给题设条件l
1xx（x0）的结构特征，可得放缩1r