2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题（2009年12月6日）
一、填空题（第15小题每题8分，第610小题每题10分，共90分）1、对于任意实数ab，定义abaabb已知a25285，则实数a的值是。
2、在三角形ABC中，ABb21BCa2CA2a，其中ab是大于1的整数，则ba。
3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。
4、已知关于x的方程x42x33kx22kx2k0有实根，并且所有实根的乘积为2，则所有实根的平方和为。
BP
E
5、如图，直角三角形ABC中AC1，BC2，P为斜边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为。
CF
第题五图
A
6、设a，b是方程x268x10的两个根，c，d是方程x286x10的两个根，则acbcadbd的值。
f7在平面直角坐标系中有两点P11Q22，函数ykx1的图像与线段PQ延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是。
8方程xyz2009的所有整数解有
组。
9如图，四边形ABCD中ABBCCD，∠ABC78°，∠BCD162°。设ADBC延长线交于E，则∠AEB。
D
A
C
D
M
BC
第题九图
E
A第题十图
B
10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC∠BCD90°，ABBC10，点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和是。
二、（本题15分）如图，ΔABC中∠ACB90°，点D在CA上，使得CD1AD3，并且∠BDC3∠BAC，求BC的长。
CAD第大图二题B
三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd，abcdabcd2
f其中数字c可以是0。
四、（本题15分）正整数
满足以下条件：任意
个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的
。
五、（本题15分）若两个实数ab使得a2b与ab2都是有理数，称数对ab是和谐的。①试找出一对无理数，使得a，b是和谐的；②证明：若a，b是和谐的，且ab是不等于1的有理数，则ab都是有理数；③证明：若a，b是和谐的，且是有理数，则ab都是有理数；
ab
2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答
f一、填空题（第15小题每题8分，第610小题每题10分，共90分）1、对于任意实数ab，定义abaabb已知a25285，则实数a的值是。
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【答案】4，
2、在三角形ABC中，ABb21BCa2CA2a，其中ab是大于1的整数，则ba。【答案】03、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。
【答案】50944、已知关于x的方程x42x33kx22kx2k0有实根，并且所有实根的乘积为2，则所有实根的平方和r